Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan:
\left\{\begin{array}{c}3 x+y+z+6 w=16 \\\ x-2 y+5 z-5 w=-7 \\\\ 4 x+y+2 z+7 w=17\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 3x+y+z+6w=16,\\[4pt] x-2y+5z-5w=-7,\\[4pt] 4x+y+2z+7w=17. \end{cases}
Informações importantes que o enunciado fornece:
  • As incógnitas são x, y, z e w.
  • Há 3 equações e 4 incógnitas.
  • A tarefa é resolver o sistema (encontrar todos os vetores (x,y,z,w) que satisfazem as três equações) usando eliminação de Gauss-Jordan.]

Passo 2

O que é eliminação de Gauss-Jordan (explicação curta e prática)?
  • Representamos o sistema por uma matriz aumentada onde cada linha corresponde a uma equação e a última coluna é o termo independente.
  • Aplicamos operações elementares sobre linhas (troca de duas linhas; multiplicar uma linha por um número não nulo; somar a uma linha um múltiplo de outra) até obter uma forma reduzida em que cada variável básica aparece como um 1 numa coluna com zeros nas outras linhas (forma reduzida por linhas, “reduced row-echelon form” — RREF).
  • Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
    Vou aplicar essas operações passo a passo, mostrando as contas para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Formamos a matriz aumentada inicial (coeficientes e termos independentes):
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 1 & 1 & 6 & 16\\[4pt] 1 & -2 & 5 & -5 & -7\\[4pt] 4 & 1 & 2 & 7 & 17 \end{array}\right].
Cada linha corresponde a uma equação: por exemplo a primeira linha representa 3x+y+z+6w=16.]

Passo 4

Escolha de pivô e primeira operação útil:
  • É conveniente ter um 1 na primeira linha como pivô para evitar frações desnecessárias primeiro. Observamos que a segunda linha já tem 1 na coluna de x.
  • Fazemos a troca R_1 \leftrightarrow R_2 (trocar linha 1 com linha 2). Isso é permitido e mantém as soluções.
Resultado após a troca:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 5 & -5 & -7\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 6 & 16\\[4pt] 4 & 1 & 2 & 7 & 17 \end{array}\right].]

Passo 5

Zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (coluna de x):
  • Usamos R_2 := R_2 - 3R_1 para eliminar o 3 em R_2.
  • Usamos R_3 := R_3 - 4R_1 para eliminar o 4 em R_3.
Calculemos linha a linha:
Para R_2:
R_2 - 3R_1 = \bigl[\,3,\,1,\,1,\,6\,\mid\,16\,\bigr] -3\cdot\bigl[\,1,\,-2,\,5,\,-5\,\mid\,-7\,\bigr] =\bigl[\,0,\,7,\,-14,\,21\,\mid\,37\,\bigr].
Para R_3:
R_3 - 4R_1 = \bigl[\,4,\,1,\,2,\,7\,\mid\,17\,\bigr] -4\cdot\bigl[\,1,\,-2,\,5,\,-5\,\mid\,-7\,\bigr] =\bigl[\,0,\,9,\,-18,\,27\,\mid\,45\,\bigr].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 5 & -5 & -7\\[4pt] 0 & 7 & -14 & 21 & 37\\[4pt] 0 & 9 & -18 & 27 & 45 \end{array}\right].]

Passo 6

Obter pivô 1 na segunda linha (coluna de y):
  • A segunda linha tem 7 na coluna de y; dividimos a linha inteira por 7: R_2 := \dfrac{1}{7}R_2.
Cálculo:
R_2 = \bigl[\,0,\,1,\,-2,\,3\,\mid\,\tfrac{37}{7}\,\bigr].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 5 & -5 & -7\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 3 & \tfrac{37}{7}\\[4pt] 0 & 9 & -18 & 27 & 45 \end{array}\right].]

Passo 7

Zerar todas as outras entradas na coluna do pivô ( y), ou seja, fazer zeros em R_1 e R_3 na coluna 2:
  • Para R_1: usamos R_1 := R_1 + 2R_2 (porque R_1 tem -2 na coluna de y).
  • Para R_3: usamos R_3 := R_3 - 9R_2 (porque R_3 tem 9 na coluna de y).
Cálculos detalhados:
Para R_1:
R_1 + 2R_2 = \bigl[\,1,\,-2,\,5,\,-5\,\mid\,-7\,\bigr] +2\cdot\bigl[\,0,\,1,\,-2,\,3\,\mid\,\tfrac{37}{7}\,\bigr] =\bigl[\,1,\,0,\,1,\,1\,\mid\, -7 + \tfrac{74}{7}\,\bigr].
Compute o termo independente:
-7 + \tfrac{74}{7} = \tfrac{-49+74}{7} = \tfrac{25}{7}.
Logo R_1 = \bigl[\,1,\,0,\,1,\,1\,\mid\,\tfrac{25}{7}\,\bigr].
Para R_3:
R_3 - 9R_2 = \bigl[\,0,\,9,\,-18,\,27\,\mid\,45\,\bigr] -9\cdot\bigl[\,0,\,1,\,-2,\,3\,\mid\,\tfrac{37}{7}\,\bigr] =\bigl[\,0,\,0,\,0,\,0\,\mid\,45 - \tfrac{333}{7}\,\bigr].
Compute o termo independente:
45 - \tfrac{333}{7} = \tfrac{315-333}{7} = \tfrac{-18}{7}.
Portanto R_3 = \bigl[\,0,\,0,\,0,\,0\,\mid\, -\tfrac{18}{7}\,\bigr].
Matriz obtida:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 & \tfrac{25}{7}\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 3 & \tfrac{37}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{18}{7} \end{array}\right].]

Passo 8

Interpretação do que apareceu na última linha:
  • A última linha é [\,0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid -\tfrac{18}{7}\,], que corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z + 0\cdot w = -\tfrac{18}{7},
ou seja
0 = -\tfrac{18}{7},
que é uma contradição (uma igualdade impossível).
  • Quando, ao reduzir o sistema, aparece uma linha com todos os coeficientes zero e o termo independente diferente de zero, isso significa que o sistema é inconsistente: não existe nenhum vetor (x,y,z,w) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Conclusão: o processo de Gauss-Jordan revelou uma linha impossível, logo o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema é incompatível (não possui solução).

Exercícios relacionados