Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan: \left\{\begin{array}{c}3 x+y+z+6 w=16 \\\ x-2 y+5 z-5 w=-7 \\\\ 4 x+y+2 z+7 w=17\end{array}\right.
A tarefa é resolver o sistema (encontrar todos os vetores (x,y,z,w) que satisfazem as três equações) usando eliminação de Gauss-Jordan.]
Passo 2
O que é eliminação de Gauss-Jordan (explicação curta e prática)?
Representamos o sistema por uma matriz aumentada onde cada linha corresponde a uma equação e a última coluna é o termo independente.
Aplicamos operações elementares sobre linhas (troca de duas linhas; multiplicar uma linha por um número não nulo; somar a uma linha um múltiplo de outra) até obter uma forma reduzida em que cada variável básica aparece como um 1 numa coluna com zeros nas outras linhas (forma reduzida por linhas, “reduced row-echelon form” — RREF).
Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
Vou aplicar essas operações passo a passo, mostrando as contas para você poder reproduzir na prova.
Passo 3
Formamos a matriz aumentada inicial (coeficientes e termos independentes):
Cada linha corresponde a uma equação: por exemplo a primeira linha representa 3x+y+z+6w=16.]
Passo 4
Escolha de pivô e primeira operação útil:
É conveniente ter um 1 na primeira linha como pivô para evitar frações desnecessárias primeiro. Observamos que a segunda linha já tem 1 na coluna de x.
Fazemos a troca R_1 \leftrightarrow R_2 (trocar linha 1 com linha 2). Isso é permitido e mantém as soluções.
A última linha é [\,0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid -\tfrac{18}{7}\,], que corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z + 0\cdot w = -\tfrac{18}{7},
ou seja
0 = -\tfrac{18}{7},
que é uma contradição (uma igualdade impossível).
Quando, ao reduzir o sistema, aparece uma linha com todos os coeficientes zero e o termo independente diferente de zero, isso significa que o sistema é inconsistente: não existe nenhum vetor (x,y,z,w) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Conclusão: o processo de Gauss-Jordan revelou uma linha impossível, logo o sistema não tem solução.