1. Podemos aproximar a área sob o gráfico de um polinômio p(x), em um pequeno intervalo \Delta x, pela área de um retângulo de base \Delta x e altura p(x). E assim, podemos escrever que
\int_{x}^{x+\Delta x} p \approx p(x) \Delta x
Consideremos P(x) como sendo uma primitiva de p(x). Olhando de forma reversa a fórmula da aproximação linear acima, podemos escrever que:
\int_{x}^{x+\Delta x} p \approx p(x) \Delta x \approx P(x+\Delta x)-P(x)
E que essas aproximações se tornam igualdades no limite quando \Delta x vai a 0 .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei tudo do texto que você enviou):
  • Há um polinômio p(x).
  • P(x) é uma primitiva de p(x); isto é, P'(x)= ? (isso é justamente o que vamos confirmar).
  • Para um pequeno incremento \Delta x tem-se a aproximação
\int_{x}^{x+\Delta x} p \approx p(x)\,\Delta x \approx P(x+\Delta x)-P(x).
  • O enunciado afirma que, ao fazer \Delta x\to 0, as aproximações viram igualdades.
O que o enunciado está pedindo (explícito ou implicitamente): justificar por que, no limite \Delta x\to 0,
  • a aproximação leva à igualdade entre as razões e, em particular, mostra que a derivada de P é p;
  • e deduzir a relação entre integrais e primitiva (a forma usual do Teorema Fundamental do Cálculo).

Passo 2

Lembrando (numa linguagem bem direta) o que significa primitiva e derivada:
  • Dizer que P é primitiva de p quer dizer que, se tudo estiver certinho (continuidade de p, etc.), então a derivada de P é p. A derivada de P em x é a definição limite
P'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{P(x+\Delta x)-P(x)}{\Delta x}.
  • A integral \int_x^{x+\Delta x} p(t)\,dt é a área sob o gráfico de p entre x e x+\Delta x. Para uma função contínua em um intervalo pequeno, essa área é bem aproximada pelo retângulo de base \Delta x e altura aproximadamente p(x), daí a aproximação \int_x^{x+\Delta x} p \approx p(x)\,\Delta x.
Antes de avançar: precisamos de uma hipótese técnica mínima que é natural no enunciado — que p seja contínua (polinômios são contínuos). Isso permite usar um resultado simples: o Teorema do Valor Médio para integrais (ou argumento de continuidade).

Passo 3

Aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais (forma prática):
  • Se p é contínua em [x,x+\Delta x], existe um ponto c\in[x,x+\Delta x] tal que
\int_{x}^{x+\Delta x} p(t)\,dt = p\text{(c)}\,\Delta x.
Isto é uma versão do “valor médio” para integrais: a integral sobre um intervalo é a altura (valor da função em algum ponto do intervalo) vezes a largura \Delta x.
Dividindo ambos os lados por \Delta x obtemos
\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x+\Delta x} p(t)\,dt = p\text{(c)}.
Agora, se \Delta x\to 0, o ponto c fica preso em [x,x+\Delta x] e, pela continuidade de p, p\text{(c)}\to p(x). Portanto
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x+\Delta x} p(t)\,dt = p(x).
Isto já mostra formalmente que a média da função no intervalo pequeno tende ao valor pontual p(x) quando o intervalo contrai para x.

Passo 4

Relacionando isso com P: pela hipótese do enunciado temos a aproximação
\int_{x}^{x+\Delta x} p(t)\,dt \approx P(x+\Delta x)-P(x).
Dividindo por \Delta x e passando ao limite:
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{P(x+\Delta x)-P(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\int_{x}^{x+\Delta x} p(t)\,dt.
Pelo passo anterior o lado direito vale p(x). Pelo lado esquerdo a definição dá exatamente P'(x). Logo
P'(x)=p(x).
Esse é o passo chave: a igualdade no limite conecta a diferença de primitiva com a integral e identifica a derivada de P com p.

Passo 5

A partir da relação P'(x)=p(x) podemos obter a forma global do Teorema Fundamental do Cálculo. Seja a<b. Defina a função
F(x)=\int_{a}^{x} p(t)\,dt.
Pelo passo 3 F'(x)=p(x). Assim F e P são duas primitivas de p. Duas primitivas diferem por uma constante; isto é, existe C tal que F(x)=P(x)+C. Avaliando em x=a:
F(a)=\int_{a}^{a} p(t)\,dt = 0 = P(a)+C \quad\Rightarrow\quad C=-P(a).
Logo
\int_{a}^{x} p(t)\,dt = P(x)-P(a).
Tomando x=b obtemos a forma usual:
\int_{a}^{b} p(t)\,dt = P(b)-P(a).
Resumo da lógica: a aproximação retangular passa a igualdade quando \Delta x\to 0, porque a média da função no intervalo pequeno tende ao valor pontual (continuidade); isso identifica a derivada de P com p e, a partir daí, qualquer primitiva fornece a diferença de valores igual à integral no intervalo.

Passo 6

Exemplo concreto e numérico (para fixar a ideia):
  • Tome p(x)=3x^2. Uma primitiva é P(x)=x^3.
  • Calcule exatamente
P(x+\Delta x)-P(x)=(x+\Delta x)^3-x^3 = 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3.
Dividindo por \Delta x e fazendo \Delta x\to 0
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{P(x+\Delta x)-P(x)}{\Delta x}=3x^2=p(x).
Também
\int_{x}^{x+\Delta x} 3t^2\,dt = (x+\Delta x)^3-x^3,
e novamente a ideia do enunciado fica explícita: para \Delta x pequeno a integral é bem aproximada por 3x^2\Delta x, e no limite a igualdade exata aparece.

Resposta

\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{P(x+\Delta x)-P(x)}{\Delta x}=p(x)
\displaystyle \int_{a}^{b} p(t)\,dt = P(b)-P(a)

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