- Podemos aproximar a área sob o gráfico de um polinômio
, em um pequeno intervalo
, pela área de um retângulo de base
e altura
. E assim, podemos escrever que
Consideremos
como sendo uma primitiva de
. Olhando de forma reversa a fórmula da aproximação linear acima, podemos escrever que:
E que essas aproximações se tornam igualdades no limite quando
vai a 0 .
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei tudo do texto que você enviou):
- Há um polinômio
. -
é uma primitiva de ; isto é, ? (isso é justamente o que vamos confirmar). - Para um pequeno incremento
tem-se a aproximação
- O enunciado afirma que, ao fazer
, as aproximações viram igualdades.
O que o enunciado está pedindo (explícito ou implicitamente): justificar por que, no limite
,
- a aproximação leva à igualdade entre as razões e, em particular, mostra que a derivada de
é ; - e deduzir a relação entre integrais e primitiva (a forma usual do Teorema Fundamental do Cálculo).
Passo 2
Lembrando (numa linguagem bem direta) o que significa primitiva e derivada:
- Dizer que
é primitiva de quer dizer que, se tudo estiver certinho (continuidade de , etc.), então a derivada de é . A derivada de em é a definição limite
- A integral
é a área sob o gráfico de entre e . Para uma função contínua em um intervalo pequeno, essa área é bem aproximada pelo retângulo de base e altura aproximadamente , daí a aproximação .
Antes de avançar: precisamos de uma hipótese técnica mínima que é natural no enunciado — que
seja contínua (polinômios são contínuos). Isso permite usar um resultado simples: o Teorema do Valor Médio para integrais (ou argumento de continuidade).
Passo 3
Aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais (forma prática):
- Se
é contínua em , existe um ponto tal que
Isto é uma versão do “valor médio” para integrais: a integral sobre um intervalo é a altura (valor da função em algum ponto do intervalo) vezes a largura
.
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Agora, se
, o ponto
fica preso em
e, pela continuidade de
,
. Portanto
Isto já mostra formalmente que a média da função no intervalo pequeno tende ao valor pontual
quando o intervalo contrai para
.
Passo 4
Relacionando isso com
: pela hipótese do enunciado temos a aproximação
Dividindo por
e passando ao limite:
Pelo passo anterior o lado direito vale
. Pelo lado esquerdo a definição dá exatamente
. Logo
Esse é o passo chave: a igualdade no limite conecta a diferença de primitiva com a integral e identifica a derivada de
com
.
Passo 5
A partir da relação
podemos obter a forma global do Teorema Fundamental do Cálculo. Seja
. Defina a função
Pelo passo 3
. Assim
e
são duas primitivas de
. Duas primitivas diferem por uma constante; isto é, existe
tal que
. Avaliando em
:
Logo
Tomando
obtemos a forma usual:
Resumo da lógica: a aproximação retangular passa a igualdade quando
, porque a média da função no intervalo pequeno tende ao valor pontual (continuidade); isso identifica a derivada de
com
e, a partir daí, qualquer primitiva fornece a diferença de valores igual à integral no intervalo.
Passo 6
Exemplo concreto e numérico (para fixar a ideia):
- Tome
. Uma primitiva é . - Calcule exatamente
Dividindo por
e fazendo
dá
Também
e novamente a ideia do enunciado fica explícita: para
pequeno a integral é bem aproximada por
, e no limite a igualdade exata aparece.