- Se
é um polinômio de grau
, a sua função derivada
é um polinômio de grau
1. Utilizemos aproximações lineares para estimar a integral de
no intervalo
. Primeiramente, dividimos o intervalo em
subintervalos de tamanho
e depois aproximamos a área de cada retângulo utilizando aproximação linear, fazendo ao fim um apelo a uma soma telescópica:
No momento, devemos acreditar que quando
vai para 0 , essas aproximações se tornam uma igualdade. E esse resultado nos fornece uma maneira bem mais prática de calcular áreas sob gráficos de polinômios que as trabalhosas Somas de Riemann que vimos anteriormente. Desta forma, temos que:
Por exemplo:
note que quando
e
, obtemos os resultados que calculamos anteriormente:
De maneira mais geral, para calcular a área sob o gráfico de um polinômio
em um intervalo
basta conhecermos uma primitiva sua
e calcular a diferença nos extremos do intervalo:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (em palavras bem diretas):
- Dá que
é um polinômio de grau . - Define
, portanto é um polinômio de grau . - Mostra uma ideia intuitiva com aproximações lineares e uma soma telescópica e conclui que, na passagem ao limite, deve valer
As perguntas implícitas que vamos responder passo a passo:
- Por que essa soma telescópica leva exatamente a
(ou seja, por que a aproximação vira igualdade quando o passo vai a zero)? - Como obter a fórmula fechada para monômios, isto é,
Dado: podemos escolher um intervalo geral
. Para a construção Riemanniana usemos uma partição uniforme com
subintervalos e
. Não começamos a resolver ainda, apenas listamos os dados e os objetivos.
Passo 2
Partição e soma de Riemann — definir notação e ideia básica:
- Dividimos
em subintervalos iguais com pontos
- Uma soma de Riemann qualquer para
com pontos de amostragem é
- Conceito-chave: se
for contínua em então a integral de Riemann existe e
para qualquer escolha de pontos
(desde que o diâmetro da partição vá a zero), isto é, todas as somas de Riemann convergem para o mesmo número.
Passo 3
Por que
é contínua e integrável:
-
é polinômio, logo é diferenciável e sua derivada é polinomial também. - Todo polinômio é contínuo em
. Portanto é contínua em e, por consequência, Riemann-integrável. Assim a noção de limite de somas de Riemann é válida aqui.
Passo 4
Aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) em cada subintervalo e obter a soma telescópica exata:
- O Teorema do Valor Médio para derivadas diz: em cada intervalo
existe algum tal que
- Como
e , obtemos para cada
- Somando essas igualdades para
dá
- O lado esquerdo é uma soma telescópica; portanto
Como
e
, isto é
Passo 5
Interpretar a igualdade anterior como uma soma de Riemann particular:
- Note que
é precisamente uma soma de Riemann para (tomando os pontos de amostragem que o TVM garante). - A igualdade do Passo 4 mostra que essa soma de Riemann específica vale exatamente
para qualquer (cada vem com seus possivelmente diferentes, mas a soma vale sempre ). - Como o valor de qualquer soma de Riemann tende, quando
(ou mais precisamente quando o diâmetro da partição tende a zero), para o valor da integral , concluímos que o limite das somas de Riemann é . Portanto
(Isto é, a soma telescópica não é só uma aproximação numericamente conveniente: existe uma escolha natural de pontos de amostragem dada pelo TVM que transforma a soma em igualdade, e o caráter integrador de
faz com que esse valor seja o da integral.)
Passo 6
Versão curta e rigorosa do argumento (resumo lógico):
-
contínua integral bem definida como limite de somas de Riemann. - Pelo TVM, existe para cada subintervalo
tal que . - Somando:
, que é uma soma de Riemann. - Logo, para qualquer
com os fornecidos pelo TVM, a soma de Riemann é ; ao passar ao limite obtemos .
Essa é, essencialmente, a demonstração da parte prática do Teorema Fundamental do Cálculo para a situação de polinômios.
Passo 7
Como usar isso na prática: achar primitivas e o caso monômio
- Se queremos
e conhecemos uma primitiva (ou se for uma derivada conhecida como no enunciado), então basta calcular . - Para o monômio
(com ) procuramos tal que . Uma função que funciona é
pois diferenciando obtemos
- Logo
Passo 8
Exemplos concretos (para fixar a ideia):
- Para
, isto é :
- Para
, isto é :
- No caso especial
e :
Estes números são os mesmos que se obteriam por somas de Riemann diretas, mas muito mais rápidos via primitiva.
Passo 9
Observações finais e incentivo:
- O que fizemos é exatamente a versão elementar do Teorema Fundamental do Cálculo para polinômios: a integral de uma derivada é a diferença de valores da primitiva nos extremos.
- Em prova: se pedirem justificar a passagem da soma telescópica para a igualdade integral, use o argumento com o Teorema do Valor Médio + definição de soma de Riemann (ou diga que
é contínua, logo integrável, e que a soma com amostragem dada pelo TVM vale sempre ). - Respira fundo: aprender a procurar primitivas e aplicar
torna muitos cálculos rápidos. Com prática isso vira automático — dá pra fazer rápido na prova!