1. Se P é um polinômio de grau n, a sua função derivada P^{\prime}(x)=p(x) é um polinômio de grau n- 1. Utilizemos aproximações lineares para estimar a integral de p no intervalo [0,1]. Primeiramente, dividimos o intervalo em N subintervalos de tamanho \frac{1}{N} e depois aproximamos a área de cada retângulo utilizando aproximação linear, fazendo ao fim um apelo a uma soma telescópica:
\begin{aligned} \int_{0}^{1} p & =\sum_{i=1}^{N} \int_{x_{i-1}}^{x_{i}} p \approx \sum_{i=1}^{N} p\left(x_{i}\right) \Delta x \approx \sum_{i=1}^{N} P\left(x_{i}\right)-P\left(x_{i-1}\right) \\\ & =P\left(x_{1}\right)-P\left(x_{0}\right)+P\left(x_{2}\right)-P\left(x_{1}\right)+P\left(x_{3}\right)-P\left(x_{2}\right)+\ldots+P\left(x_{N}\right)-P\left(x_{N-1}\right) \\\ & =P\left(x_{N}\right)-P\left(x_{0}\right)=P(1)-P(0) \end{aligned}
No momento, devemos acreditar que quando \Delta x vai para 0 , essas aproximações se tornam uma igualdade. E esse resultado nos fornece uma maneira bem mais prática de calcular áreas sob gráficos de polinômios que as trabalhosas Somas de Riemann que vimos anteriormente. Desta forma, temos que:
\int_{a}^{b} x^{n}=\frac{b^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n+1}}{n+1}
Por exemplo:
\int_{a}^{b} x=\frac{b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2} ; \int_{a}^{b} x^{2}=\frac{b^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{3}
note que quando a=0 e b=1, obtemos os resultados que calculamos anteriormente:
\int_{0}^{1} x=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2} ; \int_{0}^{1} x^{2}=\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{1}{3}
De maneira mais geral, para calcular a área sob o gráfico de um polinômio p(x) em um intervalo [a, b] basta conhecermos uma primitiva sua P(x) e calcular a diferença nos extremos do intervalo:
\int_{a}^{b} p=P(b)-P(a)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (em palavras bem diretas):
  • Dá que P é um polinômio de grau n.
  • Define p(x)=P^{\prime}(x), portanto p é um polinômio de grau n-1.
  • Mostra uma ideia intuitiva com aproximações lineares e uma soma telescópica e conclui que, na passagem ao limite, deve valer
\int_{a}^{b} p = P(b)-P(a).
As perguntas implícitas que vamos responder passo a passo:
  1. Por que essa soma telescópica leva exatamente a \int_{a}^{b} p = P(b)-P(a) (ou seja, por que a aproximação vira igualdade quando o passo \Delta x vai a zero)?
  2. Como obter a fórmula fechada para monômios, isto é,
\int_{a}^{b} x^{n}=\frac{b^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n+1}}{n+1}?
Dado: podemos escolher um intervalo geral [a,b]. Para a construção Riemanniana usemos uma partição uniforme com N subintervalos e \Delta x=\dfrac{b-a}{N}. Não começamos a resolver ainda, apenas listamos os dados e os objetivos.

Passo 2

Partição e soma de Riemann — definir notação e ideia básica:
  • Dividimos [a,b] em N subintervalos iguais com pontos
x_i=a+i\Delta x,\qquad i=0,1,\dots,N, \qquad\text{onde }\Delta x=\dfrac{b-a}{N}.
  • Uma soma de Riemann qualquer para p com pontos de amostragem \xi_i\in[x_{i-1},x_i] é
S_N=\sum_{i=1}^{N} p(\xi_i)\,\Delta x.
  • Conceito-chave: se p for contínua em [a,b] então a integral de Riemann existe e
\int_{a}^{b} p=\lim_{N\to\infty} S_N
para qualquer escolha de pontos \xi_i (desde que o diâmetro da partição vá a zero), isto é, todas as somas de Riemann convergem para o mesmo número.

Passo 3

Por que p é contínua e integrável:
  • P é polinômio, logo P é diferenciável e sua derivada p=P' é polinomial também.
  • Todo polinômio é contínuo em \mathbb{R}. Portanto p é contínua em [a,b] e, por consequência, Riemann-integrável. Assim a noção de limite de somas de Riemann é válida aqui.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) em cada subintervalo e obter a soma telescópica exata:
  • O Teorema do Valor Médio para derivadas diz: em cada intervalo [x_{i-1},x_i] existe algum \xi_i\in[x_{i-1},x_i] tal que
P(x_i)-P(x_{i-1})=P'(\xi_i)\,(x_i-x_{i-1}).
  • Como x_i-x_{i-1}=\Delta x e P'(\xi_i)=p(\xi_i), obtemos para cada i
P(x_i)-P(x_{i-1})=p(\xi_i)\,\Delta x.
  • Somando essas igualdades para i=1,\dots,N
\sum_{i=1}^{N} \bigl(P(x_i)-P(x_{i-1})\bigr) =\sum_{i=1}^{N} p(\xi_i)\,\Delta x.
  • O lado esquerdo é uma soma telescópica; portanto
P(x_N)-P(x_0)=\sum_{i=1}^{N} p(\xi_i)\,\Delta x.
Como x_0=a e x_N=b, isto é
P(b)-P(a)=\sum_{i=1}^{N} p(\xi_i)\,\Delta x.

Passo 5

Interpretar a igualdade anterior como uma soma de Riemann particular:
  • Note que \sum_{i=1}^{N} p(\xi_i)\,\Delta x é precisamente uma soma de Riemann para p (tomando os pontos de amostragem \xi_i que o TVM garante).
  • A igualdade do Passo 4 mostra que essa soma de Riemann específica vale exatamente P(b)-P(a) para qualquer N (cada N vem com seus \xi_i possivelmente diferentes, mas a soma vale sempre P(b)-P(a)).
  • Como o valor de qualquer soma de Riemann tende, quando N\to\infty (ou mais precisamente quando o diâmetro da partição tende a zero), para o valor da integral \int_{a}^{b} p, concluímos que o limite das somas de Riemann é P(b)-P(a). Portanto
\int_{a}^{b} p = P(b)-P(a).
(Isto é, a soma telescópica não é só uma aproximação numericamente conveniente: existe uma escolha natural de pontos de amostragem dada pelo TVM que transforma a soma em igualdade, e o caráter integrador de p faz com que esse valor seja o da integral.)

Passo 6

Versão curta e rigorosa do argumento (resumo lógico):
  • p contínua \Rightarrow integral bem definida como limite de somas de Riemann.
  • Pelo TVM, existe para cada subintervalo \xi_i tal que P(x_i)-P(x_{i-1})=p(\xi_i)\Delta x.
  • Somando: P(b)-P(a)=\sum p(\xi_i)\Delta x, que é uma soma de Riemann.
  • Logo, para qualquer N com os \xi_i fornecidos pelo TVM, a soma de Riemann é P(b)-P(a); ao passar ao limite obtemos \int_a^b p = P(b)-P(a).
    Essa é, essencialmente, a demonstração da parte prática do Teorema Fundamental do Cálculo para a situação de polinômios.

Passo 7

Como usar isso na prática: achar primitivas e o caso monômio
  • Se queremos \int_a^b p e conhecemos uma primitiva P (ou se p for uma derivada conhecida como no enunciado), então basta calcular P(b)-P(a).
  • Para o monômio x^n (com n\neq -1) procuramos P tal que P'(x)=x^n. Uma função que funciona é
P(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1},
pois diferenciando obtemos
P'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}.
  • Logo
\int_{a}^{b} x^{n} = P(b)-P(a)=\frac{b^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n+1}}{n+1}.

Passo 8

Exemplos concretos (para fixar a ideia):
  • Para n=1, isto é p(x)=x:
\int_{a}^{b} x = \frac{b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}.
  • Para n=2, isto é p(x)=x^{2}:
\int_{a}^{b} x^{2} = \frac{b^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{3}.
  • No caso especial a=0 e b=1:
\int_{0}^{1} x = \frac{1}{2},\qquad \int_{0}^{1} x^{2}=\frac{1}{3}.
Estes números são os mesmos que se obteriam por somas de Riemann diretas, mas muito mais rápidos via primitiva.

Passo 9

Observações finais e incentivo:
  • O que fizemos é exatamente a versão elementar do Teorema Fundamental do Cálculo para polinômios: a integral de uma derivada é a diferença de valores da primitiva nos extremos.
  • Em prova: se pedirem justificar a passagem da soma telescópica para a igualdade integral, use o argumento com o Teorema do Valor Médio + definição de soma de Riemann (ou diga que p é contínua, logo integrável, e que a soma com amostragem dada pelo TVM vale sempre P(b)-P(a)).
  • Respira fundo: aprender a procurar primitivas e aplicar P(b)-P(a) torna muitos cálculos rápidos. Com prática isso vira automático — dá pra fazer rápido na prova!

Resposta

\displaystyle \int_{a}^{b} p = P(b)-P(a)
\displaystyle \int_{a}^{b} x^{n}=\frac{b^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n+1}}{n+1}

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