Sejam \mathbf{x}, \mathbf{y} e \mathbf{z} vetores em um espaço vetorial V.
Demonstre que se
\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{x}+\mathbf{z}
então \mathbf{y}=\mathbf{z}.

Passo 1

O enunciado fornece que \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} são vetores em um espaço vetorial V e que
\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{x}+\mathbf{z}.
O que se pede: demonstrar que \mathbf{y}=\mathbf{z}.

Passo 2

Lembrete das propriedades de um espaço vetorial que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Existe um elemento nulo, chamado vetor zero e denotado por \mathbf{0}, tal que, para todo vetor \mathbf{v} em V,
\mathbf{0}+\mathbf{v}=\mathbf{v}.
Isto significa que somar \mathbf{0} a qualquer vetor não altera esse vetor.
  • Para cada vetor \mathbf{v} existe um inverso aditivo, denotado por -\mathbf{v}, tal que
\mathbf{v}+(-\mathbf{v})=\mathbf{0}.
Isto significa que somar o inverso de \mathbf{v} zera o vetor.
  • A adição é associativa, ou seja, para quaisquer \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} vale
(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c}).
Estas propriedades bastam para fazer o argumento de cancelamento.

Passo 3

Pelo axioma do inverso aditivo, para o vetor \mathbf{x} existe o vetor -\mathbf{x} tal que
\mathbf{x}+(-\mathbf{x})=\mathbf{0}.
Isso nos permite “subtrair” \mathbf{x} de uma igualdade somando -\mathbf{x} aos dois lados.

Passo 4

Some -\mathbf{x} aos dois lados da igualdade dada. Escrevendo isso:
(-\mathbf{x})+(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = (-\mathbf{x})+(\mathbf{x}+\mathbf{z}).

Passo 5

Usando a associatividade da adição para reagrupar os termos, obtemos
\big((-\mathbf{x})+\mathbf{x}\big)+\mathbf{y} = \big((-\mathbf{x})+\mathbf{x}\big)+\mathbf{z}.

Passo 6

Pelo passo 3 sabemos que (-\mathbf{x})+\mathbf{x}=\mathbf{0}. Substituindo na igualdade anterior dá
\mathbf{0}+\mathbf{y} = \mathbf{0}+\mathbf{z}.

Passo 7

Pela propriedade do elemento nulo, \mathbf{0}+\mathbf{y}=\mathbf{y} e \mathbf{0}+\mathbf{z}=\mathbf{z}. Portanto da igualdade do Passo 6 segue que
\mathbf{y}=\mathbf{z}.

Resposta

\mathbf{y}=\mathbf{z}

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