Sejam
e
vetores em um espaço vetorial
.
Demonstre que se
então
.
Passo 1
O enunciado fornece que
são vetores em um espaço vetorial
e que
O que se pede: demonstrar que
.
Passo 2
Lembrete das propriedades de um espaço vetorial que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Existe um elemento nulo, chamado vetor zero e denotado por
, tal que, para todo vetor em ,
Isto significa que somar
a qualquer vetor não altera esse vetor.
- Para cada vetor
existe um inverso aditivo, denotado por , tal que
Isto significa que somar o inverso de
zera o vetor.
- A adição é associativa, ou seja, para quaisquer
vale
Estas propriedades bastam para fazer o argumento de cancelamento.
Passo 3
Pelo axioma do inverso aditivo, para o vetor
existe o vetor
tal que
Isso nos permite “subtrair”
de uma igualdade somando
aos dois lados.
Passo 4
Some
aos dois lados da igualdade dada. Escrevendo isso:
Passo 5
Usando a associatividade da adição para reagrupar os termos, obtemos
Passo 6
Pelo passo 3 sabemos que
. Substituindo na igualdade anterior dá
Passo 7
Pela propriedade do elemento nulo,
e
. Portanto da igualdade do Passo 6 segue que