Por que podemos dizer que os gráficos das funções f(x, y)=x^2+y^2 e g(x, y)= -x^2-y^2+x y^3 são tangentes em (0,0) ?

Passo 1

A questão pede para mostrar que os gráficos de duas funções de duas variáveis são tangentes em (0,0). O conteúdo aqui é plano tangente a superfícies definidas por z=f(x,y) e precisamos usar derivadas parciais e fórmula do plano tangente.

Passo 2

Para qualquer superfície z=f(x,y), o plano tangente em (x₀,y₀) é dado por
z = f(x₀,y₀) + fx(x₀,y₀),(x - x₀) + fy(x₀,y₀),(y - y₀)
Se dois gráficos têm o mesmo plano tangente num ponto, dizemos que eles são tangentes ali.

Passo 3

Calcule o valor das funções no ponto (0,0):
Para f(x,y)=x²+y² temos f(0,0)=0²+0²=0;
Para g(x,y)=−x²−y²+xy³ temos g(0,0)=0−0+0=0.

Passo 4

Calcule as derivadas parciais e avalie em (0,0):
Para f: f_x=2x ⇒ f_x(0,0)=0; f_y=2y ⇒ f_y(0,0)=0.
Para g: g_x=−2x+y³ ⇒ g_x(0,0)=0; g_y=−2y+3xy² ⇒ g_y(0,0)=0.

Passo 5

Construa os planos tangentes em (0,0) para os dois gráficos:
Como f(0,0)=g(0,0)=0 e todas as derivadas parciais em (0,0) são zero, ambos dão
z = 0 + 0,(x-0) + 0,(y-0),
ou seja z=0. Assim, os dois gráficos têm o mesmo plano tangente em (0,0) e portanto são tangentes ali.

Resposta

Os planos tangentes aos gráficos de f e de g em (0,0) coincidem (ambos são z=0), logo as superfícies são tangentes em (0,0).

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