Use a aproximeção linear da função f: D subset Re^3 Re^2 definida por f(x, y, z)= (x+y+z3, raiz[3]x cdot y cdot z) no ponto (1,2,4) para obter a aproximação de f(1.1,1.9,3.9)

Passo 1

O enunciado pede para usar a aproximação linear (linearização) de
uma função vetorial f: R^3 to R^2 no ponto
(1,2,4) para estimar o valor de f(1.1,1.9,3.9). O conteúdo chave
aqui é derivadas parciais, matriz Jacobiana e a fórmula
f(a+De.

Passo 2

Primeiro calculamos o valor exato de f no ponto
a=(1,2,4) e montamos a Jacobiana
f(x,y,z)=l(tfracx+y+z3,,(xyz)^1/3r)
Temos
f(1,2,4)=l(tfrac1+2+43,,(1cdot2cdot4)^1/3r) =l(tfrac73,2r)
Agora as derivadas parciais:
Df(x,y,z)= partialpartial xtfracx+y+z3 & partialpartial ytfracx+y+z3 & partialpartial ztfracx+y+z3 partialpartial x(xyz)^1/3 & partialpartial y(xyz)^1/3 & partialpartial z(xyz)^1/3 = tfrac13 & tfrac13 & tfrac13 tfrac23 & tfrac13 & tfrac16
avaliada em (1,2,4).

Passo 3

O incremento é
$$\Delta\mathbf v=(1.1-1,,1.9-2,,3.9-4)=(0.1,-0.1,-0.1).
Deçãé
f(a+\Delta)\approx f(a)+Df(a),\Delta\mathbf v.
$$

Passo 4

Basta multiplicar e somar:
$$
Df(a),\Delta\mathbf v=
Df(a),De
f(1.1,1.9,3.9)approx 7/32+-0.033330.01667 =2.32.01667


= .
f(1.1,1.9,3.9)\approx
+
= .
$$

Resposta

(2.3,2.01667)

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