Use o teste da razão para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
sumn=2^infty 3^n+2ln n

Passo 1

O enunciado pede pra usar o teste da razão na série de termos positivos sumn=2^infty 3^n+2ln n. O conteúdo é testes de convergência de séries, e vamos precisar calcular o limite da razão an+1/an.

Passo 2

Definimos o termo geral an = 3^n+2ln n.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos sucessivos:
an+1an = 3^(n+1)+2/ln(n+1)3^n+2/ln n = 3 cdot ln nln(n+1)
Agora avaliamos o limite dessa razão quando n to infty:
limntoinfty 3 cdot ln nln(n+1) = 3 cdot 1 = 3
Como o limite da razão é maior que 1, o teste da razão diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge (não é absolutamente convergente) pelo teste da razão, pois o limite da razão é 3 > 1.

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