Podemos mostrar que, para uma mola, a constante K que foi introduzida no Ex. 18.5 é dada por pi G R^4 / 2 a^2, onde R é o raio do fio e a o raio da mola. Determine o valor de K para uma mola de aço com o raio de 1 cm e que é feita de um fio de aço de raio igual a 1 mm . Sabendo que o comprimento da mola não esticada é 50 cm , determine o seu alongamento quando lhe aplicamos uma força de 50 N .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a constante elástica K de uma mola de aço helicoidal é dada por
K ;=;pi,G,R^42,a^2,
onde
  • R = raio do fio da mola (aqui 1 mm),
  • a = raio da espira (aqui 1 cm),
  • G = módulo de cisalhamento do aço (aprox. 8times10^10,Pa).
Depois de achar K, a gente usa a Lei de Hooke normal,
F = K,x,
para achar o alongamento x quando aplicamos F=50,N.

Passo 2

Primeiro vamos montar a fórmula e substituir as unidades no SI:
  • R = 1,mm = 1times10^-3,m,
  • a = 1,cm = 1times10^-2,m,
  • G = 8times10^10,Pa.
A teoria por trás é simples: a torção do fio em cada espira gera uma “força de retorno” linear em theta, que vira força linear F na mola inteira. O resultado é uma constante elástica K dada acima.

Passo 3

Agora calculamos:
K = pi,G,R^42,a^2 = pi,(8times10^10,Pa),(1times10^-3,m)^4 2,(1times10^-2,m)^2
Vamos por partes:
  1. R^4 = (1times10^-3)^4 = 1times10^-12,m^4.
  2. a^2 = (1times10^-2)^2 = 1times10^-4,m^2.
  3. O numerador fica pi cdot 8times10^10cdot1times10^-12 = 8pitimes10^-2.
  4. Então
K = 8pitimes10^-22times10^-4 = 4pitimes10^2 approx 4cdot3,14cdot10^2 = 1256;N/m

Passo 4

Usando agora a Lei de Hooke F = K,x, isolamos x:
x = FK = 50,N1256,N/m approx 0,0398,m = 3,98,cm

Resposta

Constante elástica:
K approx 1,26times10^3;N/m
Alongamento sob F=50,N:
x approx 4,0;cm

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