Podemos substituir os raios-x e usar um feixe de nêutrons para identificar a estrutura atômica de materiais. Em muitas situações esta é a única maneira de identificarmos a estrutura de determinados materiais, pelas características dos nêutrons, conforme discutido em sala de aula. Um feixe de nêutrons de 83 meV é espalhado em uma amostra desconhecida e o máximo da intensidade na reflexão de Bragg é de 22^{\circ}. Com estas informações, qual é a distância entre os planos atômicos da amostra?

Passo 1

O enunciado informa um feixe de nêutrons com energia \,E=83\text{ meV} que sofre reflexão de Bragg com ângulo de pico \theta=22^\circ. O conteúdo envolvido é a dualidade onda-partícula (comprimento de onda de Broglie) e a lei de Bragg. Vamos primeiro calcular o comprimento de onda \lambda do nêutron e depois usar
n\lambda = 2\,d\sin\theta
para achar o espaçamento d dos planos atômicos (tomamos n=1).

Passo 2

Pela relação de de Broglie, o comprimento de onda é
\lambda = \frac{h}{p},
onde p é o momento. Como a energia cinética é \displaystyle E=\frac{p^2}{2m_n}, temos
p = \sqrt{2\,m_n\,E} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m_n\,E}}.

Passo 3

Convertendo a energia para joules e usando constantes:
E = 83\text{ meV} = 83\times10^{-3}\,\text{eV}\times1{,}602\times10^{-19}\,\frac{\text{J}}{\text{eV}} =1{,}33\times10^{-20}\,\text{J},
h = 6{,}626\times10^{-34}\,\text{J\cdots}, \quad m_n = 1{,}675\times10^{-27}\,\text{kg}.

Passo 4

Agora calculamos
\lambda = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{\sqrt{2\,(1{,}675\times10^{-27})\,(1{,}33\times10^{-20})}} \approx9{,}93\times10^{-11}\,\text{m} \approx0{,}993\,\text{\AA}.

Passo 5

Aplicando a lei de Bragg para primeira ordem n=1:
d = \frac{\lambda}{2\sin\theta} = \frac{9{,}93\times10^{-11}\,\text{m}}{2\sin(22^\circ)} \approx1{,}33\times10^{-10}\,\text{m}.

Resposta

A distância entre os planos atômicos é aproximadamente
d \approx 1{,}33\times10^{-10}\,\text{m}.

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