A partir da relação de incerteza, mostre que as oscilações em um circuito L C, excitado com uma tensão eficaz de 1 m V, no qual L=3 m H e C=2,6 n F, podem ser descritos pelo Eletromagnetismo Clássico.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a relação de incerteza energia–tempo (ou seja, a ideia de que um oscilador harmónico quântico tem níveis de energia separados por \hbar\omega) e mostrar que, para o circuito LC com L=3\text{ mH}, C=2{,}6\text{ nF} e tensão eficaz 1\text{ mV}, a energia clássica envolvida é muito maior que \hbar\omega. Assim, a descrição clássica do eletromagnetismo é válida.

Passo 2

Calcular a pulsação natural do circuito por
\omega = \frac{1}{\sqrt{L\,C}}
Substituindo L=3\times10^{-3}\,\mathrm{H} e C=2{,}6\times10^{-9}\,\mathrm{F},
LC = 3\times10^{-3}\times2{,}6\times10^{-9} = 7{,}8\times10^{-12},
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\omega = \frac{1}{\sqrt{7{,}8\times10^{-12}}}\approx 3{,}58\times10^{5}\,\mathrm{rad/s}.

Passo 3

O espaçamento quântico de energia entre níveis vizinhos vale
\Delta E \sim \hbar\,\omega,
onde \hbar =1{,}054\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}. Assim,
\Delta E = 1{,}054\times10^{-34}\times 3{,}58\times10^{5} \approx 3{,}78\times10^{-29}\,\mathrm{J}.

Passo 4

A energia clássica máxima armazenada no capacitor, tomando a tensão de pico V_0 ligada à tensão eficaz V_\text{rms}=1\,\text{mV} por V_0=V_\text{rms}\sqrt2, é
E_\text{cl} = \frac12\,C\,V_0^2 = \frac12\times2{,}6\times10^{-9}\times\bigl(1\times10^{-3}\sqrt2\bigr)^2.
Como \bigl(1\times10^{-3}\sqrt2\bigr)^2=2\times10^{-6},
E_\text{cl} = \frac12\times2{,}6\times10^{-9}\times2\times10^{-6} =2{,}6\times10^{-15}\,\mathrm{J}.

Passo 5

Comparando escalarmente as energias,
\frac{E_\text{cl}}{\Delta E} = \frac{2{,}6\times10^{-15}}{3{,}78\times10^{-29}} \approx 7\times10^{13}\gg1.

Passo 6

Como há cerca de 10^{14} quanta na oscilação, os efeitos quânticos são totalmente desprezíveis e o circuito LC pode ser descrito perfeitamente pelo eletromagnetismo clássico.

Resposta

A razão E_\text{cl}/(\hbar\omega)\approx7\times10^{13} mostra que a energia clássica domina amplamente o espaçamento quântico, garantindo a validade do tratamento clássico.

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