(d) Para a=2, podemos usar
ln x=ln (2+x-2)=ln [2(1+x-22)]=ln 2+ln (1+x-22)=cdots
Apresente a séries de Taylor correspondente a f(x) em torno de a=2. Qual é o intervalo de convergência e o raio dessa série?

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=ln x em torno de a=2 e nos questiona sobre o intervalo e o raio de convergência. Vamos usar a propriedade ln(x)=ln[2(1+u)] com u=(x−2)/2 e a série de ln(1+u).

Passo 2

Reescrevemos ln x isolando ln 2 e transformando x em 1+u: ln x=ln(2+(x−2))=ln[2(1+u)] com u=\frac{x-2}{2}. Logo ln x=ln 2+ln(1+u).

Passo 3

Sabemos pela teoria que para |u|<1 vale a expansão ln(1+u)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1}\frac{u^n}{n}. Este resultado vem do desenvolvimento em série de Taylor centrado em u=0.

Passo 4

Substituindo u= (x-2)/2 na série de ln(1+u) obtemos ln x=ln 2+\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1}\frac{1}{n}\Bigl(\frac{x-2}{2}\Bigr)^n$.

Passo 5

Para verificar a convergência, impomos |u|<1 ⇒ |(x−2)/2|<1 ⇒ |x−2|<2. Assim a série converge para x∈(0,4) e o raio de convergência é R=2.

Resposta

ln x = ln 2 + sumn=1^infty(-1)^n+1(x-2)^nn,2^n, com intervalo de convergência |x-2|<2 (ou 0) e raio de convergência R=2.

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