(d) Para
, podemos usar
Apresente a séries de Taylor correspondente a
em torno de
. Qual é o intervalo de convergência e o raio dessa série?
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=ln x em torno de a=2 e nos questiona sobre o intervalo e o raio de convergência. Vamos usar a propriedade ln(x)=ln[2(1+u)] com u=(x−2)/2 e a série de ln(1+u).
Passo 2
Reescrevemos ln x isolando ln 2 e transformando x em 1+u: ln x=ln(2+(x−2))=ln[2(1+u)] com u=\frac{x-2}{2}. Logo ln x=ln 2+ln(1+u).
Passo 3
Sabemos pela teoria que para |u|<1 vale a expansão ln(1+u)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1}\frac{u^n}{n}. Este resultado vem do desenvolvimento em série de Taylor centrado em u=0.
Passo 4
Substituindo u=
na série de ln(1+u) obtemos ln x=ln 2+\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1}\frac{1}{n}\Bigl(\frac{x-2}{2}\Bigr)^n$.
Passo 5
Para verificar a convergência, impomos |u|<1 ⇒ |(x−2)/2|<1 ⇒ |x−2|<2. Assim a série converge para x∈(0,4) e o raio de convergência é R=2.