Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y, z)=x y^2 e^-r z

Passo 1

Estamos com a função f(x,y,z)=x y^2 e^{-r z}. O conteúdo é derivada parcial de funções de várias variáveis e vamos precisar usar a regra de derivação normal (mantendo as outras variáveis constantes) e a derivada da exponencial.

Passo 2

Para obter ∂f/∂x, tratamos y e z como constantes. A única parte que depende de x é o fator x. Logo, usamos ∂(x)/∂x=1 e mantemos y^2 e e^{-r z} intactos.

Passo 3

Para obter ∂f/∂y, tratamos x e z como constantes. A parte que depende de y é y^2. Aplicamos a regra da potência: ∂(y^2)/∂y = 2y, multiplicando pelo fator constante x e pela exponencial e^{-r z}.

Passo 4

Para obter ∂f/∂z, tratamos x e y como constantes. A parte que depende de z é e^{-r z}. Sabemos que ∂(e^{u})/∂z = e^{u}·u’, aqui u=-r z, então u’=-r. Multiplicamos pelo fator constante x y^2.

Resposta

partial fpartial x=y^2e^-r z
partial fpartial y=2xy e^-r z
partial fpartial z=-r x y^2e^-r z

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