Podemos usar séries de potência para calcular limites indeterminados.
a. Encontre uma série de potência para a \mathrm{f}(\mathrm{t})=\mathrm{sen}(\mathrm{t}) / \mathrm{t}.
b. Resolva o limite usando a série do item (a)
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sin (2 t)}{t}
c. Compare o resultado acima usando a regra de L’Hospital.
d. Resolva
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1-x}{\cos (2 x)-1}
Considere f(x) como o numerador e g(x) como o denominador da função racional, encontre a série de Taylor que representa cada uma delas. Use seus conhecimentos de limite para resolver. Compare o resultado aplicando a regra de L’Hospital.

Passo 1

Enunciado e o que se pede:\n
  • (a) Encontrar uma série de potência para \displaystyle \frac{\sin(t)}{t}.\n
  • (b) Usar a série do item (a) para calcular \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin(2t)}{t}.\n
  • (c) Comparar o resultado do item (b) com o que se obtém aplicando a regra de L’Hospital.\n
  • (d) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{\cos(2x)-1}, encontrando séries de Taylor para numerador e denominador e, depois, comparar com o resultado pela regra de L’Hospital.\n
    Informações dadas (úteis para resolver): podemos usar expansões em série de Taylor (séries de potência) de funções elementares como \sin x, \cos x e e^x. Nada mais é pedido além disso.

Passo 2

Breve aula: o que é a série de Taylor e como usaremos aqui\n
  • A série de Taylor centrada em 0 (série de Maclaurin) de uma função h(x) é uma soma de potências de x que, quando a função é analítica, representa h(x) perto de 0.\n
  • Fórmula geral (intuição): \displaystyle h(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{(n)}(0)}{n!}x^{n}, onde h^{(n)}(0) é a n-ésima derivada avaliada em 0.\n
  • Para funções padrão já conhecidas: \sin x, \cos x e e^x têm séries com raio de convergência infinito (portanto válidas perto de 0). Vou usar essas séries conhecidas sem recalcular todas as derivadas.\n
    Séries que usaremos:\n
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots

Passo 3

Item (a): série de potência para \displaystyle \frac{\sin(t)}{t}\n
  • Parto da série de \sin t:
\sin t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}.
  • Divido termo a termo por t (válido porque a série converge absolutamente para todo t e, perto de 0, não estamos dividindo por zero quando queremos a série formal):
\frac{\sin t}{t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n}}{(2n+1)!}.
  • Escrevendo os primeiros termos para ficar concretinho:
\frac{\sin t}{t}=1-\frac{t^{2}}{3!}+\frac{t^{4}}{5!}-\frac{t^{6}}{7!}+\cdots
  • Observação didática: aqui n é o índice da soma; para n=0 t^{0}/1!=1; para n=1 -t^{2}/3!, etc. A série é válida para todo t, em particular para t perto de 0.

Passo 4

Item (b): usar a série do item (a) para calcular \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin(2t)}{t}\n
  • Substituo t por 2t na série obtida em (a):
\frac{\sin(2t)}{2t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2t)^{2n}}{(2n+1)!}.
  • Multiplico ambos os lados por 2 para obter \dfrac{\sin(2t)}{t}:
\frac{\sin(2t)}{t}=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}t^{2n}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n+1}t^{2n}}{(2n+1)!}.
  • Ao tomar o limite t\to 0, todos os termos com t^{2n} para n\ge 1 tendem a 0. O único termo que permanece é o termo n=0: \dfrac{2^{1}t^{0}}{1!}=2.\n
  • Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{\sin(2t)}{t}=2.
  • Intuição rápida alternativa (menor dedução): \displaystyle \frac{\sin(2t)}{t}=2\cdot\frac{\sin(2t)}{2t} e como \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1 (com u=2t) obtemos 2\cdot 1=2.

Passo 5

Item (c): comparar com a regra de L’Hospital para o limite \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin(2t)}{t}\n
  • Forma indeterminada original: quando t\to 0, \sin(2t)\to 0 e t\to 0, logo é 0/0.\n
  • Aplico L’Hospital (derivo numerador e denominador):
\frac{d}{dt}[\sin(2t)]=2\cos(2t),\qquad \frac{d}{dt}[t]=1.
  • O novo limite vale
\lim_{t\to 0}\frac{2\cos(2t)}{1}=2\cos(0)=2.
  • Conclusão: L’Hospital dá o mesmo resultado 2. Isso confirma a resposta do item (b).

Passo 6

Item (d): calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{\cos(2x)-1} usando séries\n
  • Primeiro, série de Taylor do numerador f(x)=e^{x}-1-x: usando e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{6}+\cdots,
e^{x}-1-x=\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots.
  • Segundo, série do denominador g(x)=\cos(2x)-1: usando \cos y=1-\dfrac{y^{2}}{2}+\dfrac{y^{4}}{24}-\cdots com y=2x,
\cos(2x)-1=-\frac{(2x)^{2}}{2}+\frac{(2x)^{4}}{24}+\cdots =-2x^{2}+\frac{16x^{4}}{24}+\cdots =-2x^{2}+\frac{2}{3}x^{4}+\cdots.
  • Agora escrevo a razão, fatorando x^{2} (pois ambos começam em ordem x^{2}):
\frac{e^{x}-1-x}{\cos(2x)-1} =\frac{x^{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{x^{2}}{24}+\cdots\right)} {x^{2}\left(-2+\dfrac{2}{3}x^{2}+\cdots\right)} =\frac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{x^{2}}{24}+\cdots}{-2+\dfrac{2}{3}x^{2}+\cdots}.
  • Tomando x\to 0, os termos com x e x^{2} vão a zero, restando
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{\cos(2x)-1}=\frac{\tfrac{1}{2}}{-2}=-\frac{1}{4}.

Passo 7

Item (d) — comparação com a regra de L’Hospital\n
  • A forma original é 0/0. Tento L’Hospital:\n
    1ª derivada: numerador (e^{x}-1-x)'\!=e^{x}-1; denominador (\cos(2x)-1)'\!=-2\sin(2x). Avaliando em 0: ambos dão 0 → ainda 0/0.\n
    2ª derivada: numerador (e^{x}-1)'\!=e^{x}; denominador (-2\sin(2x))'\!=-4\cos(2x). Avaliando em 0: e^{0}=1 e -4\cos(0)=-4.\n
  • Pelo critério de L’Hospital aplicado duas vezes:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{\cos(2x)-1}=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4},
que coincide com o resultado obtido por séries.\n
  • Observação: aplicar L’Hospital duas vezes é permitido porque as derivadas existem e as formas continuam sendo indeterminadas até a segunda aplicação; o resultado final é o mesmo.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin t}{t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n}}{(2n+1)!}=1-\frac{t^{2}}{3!}+\frac{t^{4}}{5!}-\cdots\n
\displaystyle 2\n
\displaystyle 2\n
\displaystyle -\tfrac{1}{4}

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