Podemos usar séries de potência para calcular limites indeterminados.
a. Encontre uma série de potência para a
.
b. Resolva o limite usando a série do item (a)
c. Compare o resultado acima usando a regra de L’Hospital.
d. Resolva
Considere
como o numerador e
como o denominador da função racional, encontre a série de Taylor que representa cada uma delas. Use seus conhecimentos de limite para resolver. Compare o resultado aplicando a regra de L’Hospital.
a. Encontre uma série de potência para a
b. Resolva o limite usando a série do item (a)
d. Resolva
Passo 1
Enunciado e o que se pede:\n
- (a) Encontrar uma série de potência para
.\n - (b) Usar a série do item (a) para calcular
\n - (c) Comparar o resultado do item (b) com o que se obtém aplicando a regra de L’Hospital.\n
- (d) Calcular
, encontrando séries de Taylor para numerador e denominador e, depois, comparar com o resultado pela regra de L’Hospital.\n
Informações dadas (úteis para resolver): podemos usar expansões em série de Taylor (séries de potência) de funções elementares como, e . Nada mais é pedido além disso.
Passo 2
Breve aula: o que é a série de Taylor e como usaremos aqui\n
- A série de Taylor centrada em
(série de Maclaurin) de uma função é uma soma de potências de que, quando a função é analítica, representa perto de .\n - Fórmula geral (intuição):
, onde é a -ésima derivada avaliada em .\n - Para funções padrão já conhecidas:
, e têm séries com raio de convergência infinito (portanto válidas perto de ). Vou usar essas séries conhecidas sem recalcular todas as derivadas.\n
Séries que usaremos:\n
Passo 3
Item (a): série de potência para
\n
- Parto da série de
:
- Divido termo a termo por
(válido porque a série converge absolutamente para todo e, perto de , não estamos dividindo por zero quando queremos a série formal):
- Escrevendo os primeiros termos para ficar concretinho:
- Observação didática: aqui
é o índice da soma; para dá ; para dá , etc. A série é válida para todo , em particular para perto de .
Passo 4
Item (b): usar a série do item (a) para calcular
\n
- Substituo
por na série obtida em (a):
- Multiplico ambos os lados por
para obter :
- Ao tomar o limite
, todos os termos com para tendem a . O único termo que permanece é o termo : .\n - Portanto
- Intuição rápida alternativa (menor dedução):
e como (com ) obtemos .
Passo 5
Item (c): comparar com a regra de L’Hospital para o limite
\n
- Forma indeterminada original: quando
, e , logo é .\n - Aplico L’Hospital (derivo numerador e denominador):
- O novo limite vale
- Conclusão: L’Hospital dá o mesmo resultado
. Isso confirma a resposta do item (b).
Passo 6
Item (d): calcular
usando séries\n
- Primeiro, série de Taylor do numerador
: usando ,
- Segundo, série do denominador
: usando com ,
- Agora escrevo a razão, fatorando
(pois ambos começam em ordem ):
- Tomando
, os termos com e vão a zero, restando
Passo 7
Item (d) — comparação com a regra de L’Hospital\n
- A forma original é
. Tento L’Hospital:\n
1ª derivada: numerador; denominador . Avaliando em : ambos dão → ainda .\n
2ª derivada: numerador; denominador . Avaliando em : e .\n - Pelo critério de L’Hospital aplicado duas vezes:
que coincide com o resultado obtido por séries.\n
- Observação: aplicar L’Hospital duas vezes é permitido porque as derivadas existem e as formas continuam sendo indeterminadas até a segunda aplicação; o resultado final é o mesmo.