Na teoria da probabilidade, a função Erro \mathrm{E}(x) é importante por causa de sua conexão com a distribuição normal , que é representada por uma curva de sino. De fato, \mathrm{E}(x) representa a fração de uma característica normalmente distribuída em uma população que se encontra entre 0 e x.
E(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t
Encontre a série de Taylor centrada no zero para a função Erro. Quais são os valores que a série converge?
e pede duas coisas: (i) encontrar a série de Taylor centrada em zero (ou série de Maclaurin) de E(x); (ii) determinar para quais valores de x essa série converge. As informações relevantes são apenas a expressão integral acima e o domínio implícito de t usado na integral (de 0 a x).
Passo 2
Vamos começar construindo a série de potências para a função dentro da integral, e^{-t^{2}}. Lembre-se da série de Maclaurin para a exponencial:
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!},
onde u é uma variável qualquer. Aqui usaremos u=-t^{2}. Substituindo u=-t^{2} obtemos a série para e^{-t^{2}}:
Explicando devagar: cada termo da série de e^{u} vira ((-t^{2})^{n})/n!=(-1)^{n}t^{2n}/n!. Isso é uma série em potências de t.
Passo 3
Agora vamos integrar essa série termo a termo entre 0 e x. É permitido integrar termo a termo porque a série de potências para e^{-t^{2}} converge uniformemente em qualquer intervalo fechado e limitado em t; portanto podemos integrar cada termo separado (regra clássica de operações com séries de funções contínuas). Assim:
para todo x\in\mathbb{R}, porque há um fator 1/(n+1) que vai a zero. Como o limite do quociente é 0<1 para qualquer x, a série converge absolutamente para todo x. Em outras palavras, o raio de convergência é infinito e a série converge em todo o eixo real.
Passo 7
Resumo didático: começamos com a série de e^{u}, substituímos u=-t^{2} para obter a série de e^{-t^{2}}, integramos termo a termo entre 0 e x (permitido por convergência uniforme em intervalos limitados) e multiplicamos pelo fator \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}. O resultado é a série de Maclaurin pedida, que converge para todo x\in\mathbb{R}.