Na teoria da probabilidade, a função Erro \mathrm{E}(x) é importante por causa de sua conexão com a distribuição normal , que é representada por uma curva de sino. De fato, \mathrm{E}(x) representa a fração de uma característica normalmente distribuída em uma população que se encontra entre 0 e x.
E(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t
Encontre a série de Taylor centrada no zero para a função Erro. Quais são os valores que a série converge?

Passo 1

O enunciado dá a função Erro
E(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt
e pede duas coisas: (i) encontrar a série de Taylor centrada em zero (ou série de Maclaurin) de E(x); (ii) determinar para quais valores de x essa série converge. As informações relevantes são apenas a expressão integral acima e o domínio implícito de t usado na integral (de 0 a x).

Passo 2

Vamos começar construindo a série de potências para a função dentro da integral, e^{-t^{2}}. Lembre-se da série de Maclaurin para a exponencial:
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!},
onde u é uma variável qualquer. Aqui usaremos u=-t^{2}. Substituindo u=-t^{2} obtemos a série para e^{-t^{2}}:
e^{-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-t^{2})^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}t^{2n}}{n!}.
Explicando devagar: cada termo da série de e^{u} vira ((-t^{2})^{n})/n!=(-1)^{n}t^{2n}/n!. Isso é uma série em potências de t.

Passo 3

Agora vamos integrar essa série termo a termo entre 0 e x. É permitido integrar termo a termo porque a série de potências para e^{-t^{2}} converge uniformemente em qualquer intervalo fechado e limitado em t; portanto podemos integrar cada termo separado (regra clássica de operações com séries de funções contínuas). Assim:
\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt = \int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}t^{2n}}{n!}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_{0}^{x} t^{2n}\,dt.
Agora calculamos a integral simples de cada termo: para n\ge0,
\int_{0}^{x} t^{2n}\,dt = \left[\frac{t^{2n+1}}{2n+1}\right]_{0}^{x}=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 4

Substituindo essa integral na soma obtemos
\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}.
Agora multiplicamos pelo fator \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} que aparece na definição de E(x). Assim a série de Taylor (Maclaurin) de E(x) é
E(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}.

Passo 5

Para ficar mais concreto, escrevo os primeiros termos explícitos (obtidos tomando n=0,1,2,3):
E(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\Bigg(x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{10}-\frac{x^{7}}{42}+\cdots\Bigg).
Aqui cada coeficiente foi obtido pela fórmula geral \dfrac{(-1)^{n}}{n!(2n+1)} multiplicada por \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}.

Passo 6

Agora determinamos onde essa série converge. Considere o termo geral (em valor absoluto)
a_{n}=\left|\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}\right|=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{|x|^{2n+1}}{n!(2n+1)}.
Para verificar convergência em n\to\infty usamos o quociente entre termos consecutivos (teste da razão), tomando apenas a parte que depende de n:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{|x|^{2(n+1)+1}}{(n+1)!(2(n+1)+1)}\cdot\frac{n!(2n+1)}{|x|^{2n+1}} = \frac{|x|^{2}}{n+1}\cdot\frac{2n+1}{2n+3}.
Ao fazer n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=0
para todo x\in\mathbb{R}, porque há um fator 1/(n+1) que vai a zero. Como o limite do quociente é 0<1 para qualquer x, a série converge absolutamente para todo x. Em outras palavras, o raio de convergência é infinito e a série converge em todo o eixo real.

Passo 7

Resumo didático: começamos com a série de e^{u}, substituímos u=-t^{2} para obter a série de e^{-t^{2}}, integramos termo a termo entre 0 e x (permitido por convergência uniforme em intervalos limitados) e multiplicamos pelo fator \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}. O resultado é a série de Maclaurin pedida, que converge para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

E(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}
Converge para todo x\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito).

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