Classificar as EDOs quanto à ordem e à linearidade:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a EDO quanto à ordem e quanto à linearidade. A equação dada no enunciado é
Informações relevantes fornecidas:
- Aparecem a derivada de ordem dois
e a derivada de ordem um . - Há um termo não linear
(é o cubo da derivada de primeira ordem).
As perguntas são: (1) qual é a ordem desta EDO? e (2) ela é linear ou não linear?
Passo 2
Definição e identificação da ordem da EDO. Vou te explicar de um jeito prático:
- A ordem de uma EDO é o maior índice de derivada de
que aparece na equação. Por exemplo, se aparece em algum termo, a ordem é ; se o maior for , a ordem é , e assim por diante.
Aplicando isso à equação dada: o maior derivado que aparece é. Portanto a ordem é .
Passo 3
Definição e critérios de linearidade de uma EDO (explicado passo a passo):
- Uma EDO de ordem
é linear se puder ser escrita na forma
onde cada
e
são funções apenas da variável independente
(não podem depender de
nem de derivadas de
), e cada derivada de
aparece apenas multiplicada por essas funções
(ou seja, aparece de forma linear: sem potências, sem produtos entre derivadas, sem funções não lineares de
ou de suas derivadas).
- Se aparecerem termos como
, , , etc., então a equação é não linear.
Passo 4
Aplicando o critério à equação dada:
- Os dois primeiros termos,
e , são lineares em relação a e suas derivadas (parecem com a forma linear), mas o terceiro termo é , que é a derivada de primeira ordem elevada ao cubo. - Esse termo
faz com que a dependência nas derivadas não seja linear (aparece uma potência da derivada), portanto a EDO não satisfaz a definição de linearidade.
Conclusão: a equação é não linear por causa do termo.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear (devido ao termo ).
Linearidade: não linear (devido ao termo