Classificar as EDOs quanto à ordem e à linearidade:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-7 \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a EDO quanto à ordem e quanto à linearidade. A equação dada no enunciado é
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-7 \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Aparecem a derivada de ordem dois \frac{d^{2}y}{dx^{2}} e a derivada de ordem um \frac{dy}{dx}.
  • Há um termo não linear \left(\frac{dy}{dx}\right)^{3} (é o cubo da derivada de primeira ordem).
    As perguntas são: (1) qual é a ordem desta EDO? e (2) ela é linear ou não linear?

Passo 2

Definição e identificação da ordem da EDO. Vou te explicar de um jeito prático:
  • A ordem de uma EDO é o maior índice de derivada de y que aparece na equação. Por exemplo, se aparece \frac{d^3 y}{dx^3} em algum termo, a ordem é 3; se o maior for \frac{d^2 y}{dx^2}, a ordem é 2, e assim por diante.
    Aplicando isso à equação dada: o maior derivado que aparece é \frac{d^{2} y}{d x^{2}}. Portanto a ordem é 2.

Passo 3

Definição e critérios de linearidade de uma EDO (explicado passo a passo):
  • Uma EDO de ordem n é linear se puder ser escrita na forma
a_n(x)\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=b(x),
onde cada a_k(x) e b(x) são funções apenas da variável independente x (não podem depender de y nem de derivadas de y), e cada derivada de y aparece apenas multiplicada por essas funções a_k(x) (ou seja, aparece de forma linear: sem potências, sem produtos entre derivadas, sem funções não lineares de y ou de suas derivadas).
  • Se aparecerem termos como (\frac{dy}{dx})^2, y\cdot \frac{dy}{dx}, \sin(y), \left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^3 etc., então a equação é não linear.

Passo 4

Aplicando o critério à equação dada:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-7 \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}=0.
  • Os dois primeiros termos, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} e -7\frac{d y}{d x}, são lineares em relação a y e suas derivadas (parecem com a forma linear), mas o terceiro termo é \left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}, que é a derivada de primeira ordem elevada ao cubo.
  • Esse termo \left(\frac{d y}{d x}\right)^{3} faz com que a dependência nas derivadas não seja linear (aparece uma potência da derivada), portanto a EDO não satisfaz a definição de linearidade.
    Conclusão: a equação é não linear por causa do termo \left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}.

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: não linear (devido ao termo \left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}).

Exercícios relacionados