O tampo de uma mesa é articulado através de dobradiças localizadas em uma de suas extremidades de modo que você pode variar o ângulo de inclinação \theta entre o tampo e a horizontal. Como você escolheria \theta de modo que bolas que caíssem sobre o plano inclinado e repicassem elasticamente do mesmo tivessem alcance máximo?

Passo 1

O enunciado descreve um plano inclinado que pode girar em torno de uma dobradiça no nível do solo, formando um ângulo \theta com a horizontal. Uma bola cai verticalmente (com velocidade no impacto \sqrt{2gh}, mas a altura h só afeta a velocidade inicial, não a posição) e bate elasticamente no plano. Como a colisão é perfeitamente elástica, o módulo da velocidade após o choque continua v, e o ângulo de reflexão é igual ao de incidência em relação à normal ao plano. Em seguida a bola descreve um movimento de projétil a partir do ponto de impacto (nível do solo), e queremos maximizar o alcance horizontal. Para resolver, vamos:
  • usar a lei da reflexão em vetores para achar a direção da velocidade após o choque,
  • determinar a componente horizontal e vertical dessa velocidade,
  • escrever a fórmula do alcance no solo para lançamento a partir do solo,
  • e então escolher \theta que maximiza esse alcance.

Passo 2

Representemos a velocidade de impacto como \mathbf{v}_\text{i}=(0,-v). A normal unitaria ao plano inclinado, de inclinação \theta acima da horizontal, pode ser escrita como \mathbf{n}=(\sin\theta,\,-\cos\theta). A reflexão elástica dá
\mathbf{v}_\text{f} =\mathbf{v}_\text{i}-2(\mathbf{v}_\text{i}\cdot\mathbf{n})\,\mathbf{n}.
Calculando o produto escalar,
\mathbf{v}_\text{i}\cdot\mathbf{n} =(0)\sin\theta+(-v)(-\cos\theta)=v\cos\theta,
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\mathbf{v}_\text{f} =(0,-v)-2v\cos\theta\,(\sin\theta,-\cos\theta) =(-2v\cos\theta\sin\theta,\,-v+2v\cos^2\theta).

Passo 3

Simplificando as componentes,
v_{x} =-2v\cos\theta\sin\theta=-v\sin2\theta,\quad v_{y} =-v+2v\cos^2\theta=v(2\cos^2\theta-1)=v\cos2\theta.
Escolhendo o eixo x no sentido positivo em que a bola se afasta da base da rampa, podemos tomar \,v_x=v\sin2\theta (apenas invertendo o sinal de x). Assim o módulo da velocidade permanece v e o ângulo de lançamento acima da horizontal, \varphi, satisfaz
\tan\varphi=\frac{v_y}{v_x} =\frac{\cos2\theta}{\sin2\theta} =\cot2\theta \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{2}-2\theta.

Passo 4

Como o ponto de impacto está ao nível do solo, a fórmula do alcance horizontal R de um projétil lançado com rapidez v e ângulo \varphi acima da horizontal é
R=\frac{v^2}{g}\,\sin(2\varphi).
Substituindo \varphi=\frac{\pi}{2}-2\theta, temos
2\varphi=\pi-4\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin(2\varphi)=\sin(\pi-4\theta)=\sin4\theta,
portanto
R(\theta)=\frac{v^2}{g}\,\sin4\theta.

Passo 5

Para maximizar R(\theta) sobre \theta, basta maximizar \sin4\theta. O valor máximo de \sin é 1, que ocorre quando
4\theta=\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \theta=\frac{\pi}{8}\approx22{,}5^\circ.

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