O tampo de uma mesa é articulado através de dobradiças localizadas em uma de suas extremidades de modo que você pode variar o ângulo de inclinação
entre o tampo e a horizontal. Como você escolheria
de modo que bolas que caíssem sobre o plano inclinado e repicassem elasticamente do mesmo tivessem alcance máximo?
Passo 1
O enunciado descreve um plano inclinado que pode girar em torno de uma dobradiça no nível do solo, formando um ângulo
com a horizontal. Uma bola cai verticalmente (com velocidade no impacto
, mas a altura
só afeta a velocidade inicial, não a posição) e bate elasticamente no plano. Como a colisão é perfeitamente elástica, o módulo da velocidade após o choque continua
, e o ângulo de reflexão é igual ao de incidência em relação à normal ao plano. Em seguida a bola descreve um movimento de projétil a partir do ponto de impacto (nível do solo), e queremos maximizar o alcance horizontal. Para resolver, vamos:
- usar a lei da reflexão em vetores para achar a direção da velocidade após o choque,
- determinar a componente horizontal e vertical dessa velocidade,
- escrever a fórmula do alcance no solo para lançamento a partir do solo,
- e então escolher
que maximiza esse alcance.
Passo 2
Representemos a velocidade de impacto como
. A normal unitaria ao plano inclinado, de inclinação
acima da horizontal, pode ser escrita como
. A reflexão elástica dá
Calculando o produto escalar,
logo
Passo 3
Simplificando as componentes,
Escolhendo o eixo
no sentido positivo em que a bola se afasta da base da rampa, podemos tomar
(apenas invertendo o sinal de
). Assim o módulo da velocidade permanece
e o ângulo de lançamento acima da horizontal,
, satisfaz
Passo 4
Como o ponto de impacto está ao nível do solo, a fórmula do alcance horizontal
de um projétil lançado com rapidez
e ângulo
acima da horizontal é
Substituindo
, temos
portanto
Passo 5
Para maximizar
sobre
, basta maximizar
. O valor máximo de
é 1, que ocorre quando