(1 point) Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 16 cm de diâmetro e 24 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de
. .
Passo 1
O enunciado pede estimar a quantidade de estanho (volume de estanho) usada para revestir uma lata cilíndrica fechada, sabendo que a espessura da folha é
. Informações dadas:
- Diâmetro da lata:
. - Logo o raio é
. - Altura da lata:
. - Espessura da folha (pequena):
.
O que pedir: estimar o volume de estanho (em
) usando diferenciais.
Passo 2
Definir variável e escrever a fórmula do volume de uma camada fina (casca) de espessura
sobre a lata fechada.
- A área da superfície externa de uma lata cilíndrica fechada é a soma da área lateral e das duas bases. A área lateral é
. A área das duas bases juntas é . Assim a área total é
- Se a folha tem espessura
muito pequena, o volume aproximado da camada de estanho é a área multiplicada pela espessura:
Para fazer este raciocínio com diferenciais, considere a função
Passo 3
Aplicar a ideia de diferencial: escrever o diferencial total de
e simplificar usando que
e
são fixos (não mudam).
- O diferencial total é
- Como estamos apenas “adicionando” uma camada de espessura
sobre uma superfície de raio e altura já dadas, assumimos e . Então a variação do volume causada pela espessura é
- Calcular a derivada parcial em relação a
:
Logo
Interpretação: o volume do estanho é aproximadamente a área total da lata multiplicada pela espessura.
Passo 4
Calcular numericamente a área
usando os valores dados.
- Substituir
e na expressão de :
- Calcular dentro dos parênteses:
.
- Fazer as multiplicações:
e . Portanto
Passo 5
Calcular o volume aproximado do estanho usando
com
.
Calcular
:
. Logo
Se for desejável um valor numérico aproximado, use
:
Passo 6
Verificação rápida (sentido físico): a área é da ordem de centenas de
e a espessura é muito pequena (
), então um volume da ordem de algumas dezenas de
é razoável. Dá para imaginar que esse é o volume de uma pequena caixa de material, portanto faz sentido.