(1 point) Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 16 cm de diâmetro e 24 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,04 \mathrm{~cm}. .

Passo 1

O enunciado pede estimar a quantidade de estanho (volume de estanho) usada para revestir uma lata cilíndrica fechada, sabendo que a espessura da folha é \,0,04\\ \mathrm{cm}. Informações dadas:
  • Diâmetro da lata: \,16\\ \mathrm{cm}.
  • Logo o raio é \,r=\dfrac{16}{2}=8\\ \mathrm{cm}.
  • Altura da lata: \,h=24\\ \mathrm{cm}.
  • Espessura da folha (pequena): \,t=0,04\\ \mathrm{cm}.
O que pedir: estimar o volume de estanho (em \mathrm{cm}^3) usando diferenciais.

Passo 2

Definir variável e escrever a fórmula do volume de uma camada fina (casca) de espessura \,t sobre a lata fechada.
  • A área da superfície externa de uma lata cilíndrica fechada é a soma da área lateral e das duas bases. A área lateral é \,2\pi r h. A área das duas bases juntas é \,2\pi r^2. Assim a área total é
A = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r).
  • Se a folha tem espessura \,t muito pequena, o volume aproximado da camada de estanho é a área multiplicada pela espessura:
V \approx A\cdot t.
Para fazer este raciocínio com diferenciais, considere a função
V(r,h,t)=2\pi r(h+r)\,t.

Passo 3

Aplicar a ideia de diferencial: escrever o diferencial total de V e simplificar usando que r e h são fixos (não mudam).
  • O diferencial total é
dV=\frac{\partial V}{\partial r}\,dr+\frac{\partial V}{\partial h}\,dh+\frac{\partial V}{\partial t}\,dt.
  • Como estamos apenas “adicionando” uma camada de espessura \,t sobre uma superfície de raio e altura já dadas, assumimos \,dr=0 e \,dh=0. Então a variação do volume causada pela espessura é
dV\approx\frac{\partial V}{\partial t}\,dt.
  • Calcular a derivada parcial em relação a t:
\frac{\partial V}{\partial t}=2\pi r(h+r)=A.
Logo
dV\approx A\,dt.
Interpretação: o volume do estanho é aproximadamente a área total da lata multiplicada pela espessura.

Passo 4

Calcular numericamente a área A usando os valores dados.
  • Substituir \,r=8\\ \mathrm{cm} e \,h=24\\ \mathrm{cm} na expressão de A:
A=2\pi r(h+r)=2\pi\cdot 8\cdot(24+8).
  • Calcular dentro dos parênteses: 24+8=32.
A=2\pi\cdot 8\cdot 32.
  • Fazer as multiplicações: 2\cdot 8=16 e 16\cdot 32=512. Portanto
A=512\pi\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 5

Calcular o volume aproximado do estanho usando dV\approx A\,dt com \,dt=t=0,04\\ \mathrm{cm}.
dV \approx 512\pi \cdot 0,04.
Calcular 512\cdot 0,04: 512\cdot 0,04=20,48. Logo
dV \approx 20{,}48\pi\\ \mathrm{cm}^3.
Se for desejável um valor numérico aproximado, use \pi\approx 3{,}1416:
dV \approx 20{,}48\pi \approx 20{,}48\times 3{,}1416 \approx 64{,}32\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Verificação rápida (sentido físico): a área é da ordem de centenas de \mathrm{cm}^2 e a espessura é muito pequena ( 0,04\\ \mathrm{cm}), então um volume da ordem de algumas dezenas de \mathrm{cm}^3 é razoável. Dá para imaginar que esse é o volume de uma pequena caixa de material, portanto faz sentido.

Resposta

20{,}48\pi\\ \mathrm{cm}^3
\approx 64{,}32\\ \mathrm{cm}^3

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