encontre a solução explicita de cada PVI abaixo e indique o intervalo de Alfinição da solução
y^{2}=-2 y+x+5, y(0)=0

Passo 1

O enunciado fornece um problema de valor inicial (PVI) com as seguintes informações:
  • Equação diferencial (escrita aqui na forma que vou usar): y' = -2\,y + x + 5.
  • Condição inicial: y(0)=0.
O que o problema pede:
  • Encontrar a solução explícita y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.
  • Indicar o intervalo de definição (ou de validade) dessa solução.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é, reunir os termos com y à esquerda:
y' + 2\,y = x + 5.
Aqui cada símbolo significa:
  • y' é a derivada de y em relação a x;
  • o coeficiente 2 multiplica y;
  • o termo x+5 é o termo não homogêneo (função conhecida de x).

Passo 3

Método que vamos usar (explicando didaticamente): método do fator integrante.
  • Para uma equação da forma \,y' + p(x)\,y = q(x)\,, define-se o fator integrante \mu(x)=\exp\!\big(\int p(x)\,dx\big).
  • Multiplicando a equação por \mu(x) obtém-se do lado esquerdo a derivada do produto \big(\mu(x)\,y\big)'. Isso transforma a equação numa forma integrável diretamente.
  • Aqui p(x)=2 e q(x)=x+5.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 2\,dx\Big)=\exp(2x)=e^{2x}.

Passo 5

Multiplicando a equação por \mu(x)=e^{2x} obtemos
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{2x}(x+5).
Pelo produto derivado, o lado esquerdo é a derivada de e^{2x}y:
\big(e^{2x}y\big)' = e^{2x}(x+5).

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{2x}y = \int e^{2x}(x+5)\,dx + C = \int x e^{2x}\,dx + 5\int e^{2x}\,dx + C.
Agora calculamos as integrais passo a passo.
Para \displaystyle \int x e^{2x}\,dx usamos integração por partes. A fórmula é \displaystyle \int u\,dv = u v - \int v\,du.
  • Escolhemos u=x e dv=e^{2x}\,dx.
  • Então du=dx e v=\tfrac{1}{2}e^{2x}.
    Aplicando:
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x}.
Para \displaystyle 5\int e^{2x}\,dx temos
5\int e^{2x}\,dx = 5\cdot\frac{1}{2}e^{2x}=\frac{5}{2}e^{2x}.
Somando as duas integrais:
\int e^{2x}(x+5)\,dx = \left(\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x}\right) + \frac{5}{2}e^{2x} = e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4} + \frac{5}{2}\right).
Calculemos o termo constante dentro dos parênteses:
- \frac{1}{4} + \frac{5}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{10}{4} = \frac{9}{4}.
Portanto
\int e^{2x}(x+5)\,dx = e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}\right).
Assim, voltando à expressão para e^{2x}y,
e^{2x}y = e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}\right) + C.

Passo 7

Isolar y dividindo por e^{2x}:
y(x) = \frac{1}{2}x + \frac{9}{4} + C e^{-2x},
onde C é a constante arbitrária.

Passo 8

Determinar a constante C pela condição inicial y(0)=0:
y(0)=0 = \frac{1}{2}\cdot 0 + \frac{9}{4} + C e^{0} \quad\Rightarrow\quad 0 = \frac{9}{4} + C \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{9}{4}.

Passo 9

Intervalo de definição: os coeficientes da equação linear (a função p(x)=2 e q(x)=x+5) são funções polinomiais, portanto contínuas em todo \mathbb{R}. Isso garante que a solução encontrada por integração está definida para todo x\in\mathbb{R}. Ou, dito de forma simples: a solução explícita usa exponenciais e polinômios, todos definidos para todos os reais, logo o intervalo de definição é (-\infty,\infty).

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-2x}
Intervalo de definição: (-\infty,\infty)

Exercícios relacionados