encontre a solução explicita de cada PVI abaixo e indique o intervalo de Alfinição da solução
Passo 1
O enunciado fornece um problema de valor inicial (PVI) com as seguintes informações:
- Equação diferencial (escrita aqui na forma que vou usar):
. - Condição inicial:
.
O que o problema pede:
- Encontrar a solução explícita
que satisfaz a equação e a condição inicial. - Indicar o intervalo de definição (ou de validade) dessa solução.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é, reunir os termos com
à esquerda:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a derivada de em relação a ; - o coeficiente
multiplica ; - o termo
é o termo não homogêneo (função conhecida de ).
Passo 3
Método que vamos usar (explicando didaticamente): método do fator integrante.
- Para uma equação da forma
, define-se o fator integrante . - Multiplicando a equação por
obtém-se do lado esquerdo a derivada do produto . Isso transforma a equação numa forma integrável diretamente. - Aqui
e .
Passo 4
Calcular o fator integrante
:
Passo 5
Multiplicando a equação por
obtemos
Pelo produto derivado, o lado esquerdo é a derivada de
:
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
Agora calculamos as integrais passo a passo.
Para
usamos integração por partes. A fórmula é
.
- Escolhemos
e . - Então
e .
Aplicando:
Para
temos
Somando as duas integrais:
Calculemos o termo constante dentro dos parênteses:
Portanto
Assim, voltando à expressão para
,
Passo 7
Isolar
dividindo por
:
onde
é a constante arbitrária.
Passo 8
Determinar a constante
pela condição inicial
:
Passo 9
Intervalo de definição: os coeficientes da equação linear (a função
e
) são funções polinomiais, portanto contínuas em todo
. Isso garante que a solução encontrada por integração está definida para todo
. Ou, dito de forma simples: a solução explícita usa exponenciais e polinômios, todos definidos para todos os reais, logo o intervalo de definição é
.
Resposta
Intervalo de definição: