(1,0 points) Considere f(x)=2 x-3, definida em [-\pi, \pi] e estendida periodicamente.
(a) Classifique a função como par, ímpar ou nenhuma.
(b) Determine quais coeficientes de Fourier são nulos.
(c) Escreva a forma geral da série de Fourier.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida em [-\pi,\pi] por
f(x)=2x-3,
e essa função é estendida periodicamente (período 2\pi). O que o exercício pede:
  • (a) Classificar f como par, ímpar ou nenhuma das duas.
  • (b) Determinar quais coeficientes de Fourier são nulos.
  • (c) Escrever a forma geral da série de Fourier (no intervalo [-\pi,\pi] com a extensão periódica).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Domínio fundamental: [-\pi,\pi].
  • Fórmula explícita: f(x)=2x-3.
  • A função é periódica com período 2\pi (extensão periódica padrão).

Passo 2

Definição e teste de paridade (passo didático):
  • Uma função g é par se \,g(-x)=g(x) para todo x.
  • Uma função g é ímpar se \,g(-x)=-g(x) para todo x.
Vamos verificar para f(x)=2x-3:
f(-x)=2(-x)-3=-2x-3.
Compare com f(x)=2x-3 e com -f(x)=-2x+3:
  • f(-x)\neq f(x) (logo não é par).
  • f(-x)\neq -f(x) (logo não é ímpar).
Portanto, f não é par nem ímpar. (Observação útil: f pode ser decomposta em parte par e parte ímpar; veremos isso depois.)

Passo 3

Decomposição em parte par e ímpar (insight útil para Fourier):
Qualquer função pode ser escrita como soma de uma parte par e uma parte ímpar:
f_{\text{par}}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},\qquad f_{\text{ímpar}}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.í
Aplicando a f:
f_{\text{par}}(x)=\frac{(2x-3)+(-2x-3)}{2}=\frac{-6}{2}=-3,
f_{\text{ímpar}}(x)=\frac{(2x-3)-(-2x-3)}{2}=\frac{4x}{2}=2x.í
Logo
f(x) = f_{\text{par}}(x)+f_{\text{ímpar}}(x) = -3 + 2x,í
onde -3 é par (constante) e 2x é ímpar. Isto já antecipa que a parte par dará termos em cosseno (e o termo constante), e a parte ímpar dará termos em seno na série de Fourier.

Passo 4

Fórmulas padrão dos coeficientes de Fourier (no intervalo [-\pi,\pi]):
A série de Fourier de uma função f em [-\pi,\pi] é, convensionalmente,
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\quad (n\ge1),
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\quad (n\ge1).
Explicação rápida do que cada símbolo significa:
  • a_0 é duas vezes o termo constante da série (por isso aparece a_0/2 na soma).
  • a_n multiplica \cos(nx) (termos pares).
  • b_n multiplica \sin(nx) (termos ímpares).
    Essas fórmulas são obtidas projetando f nas funções ortogonais \{1,\cos(nx),\sin(nx)\}.

Passo 5

Cálculo de a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (2x-3)\,dx.
Divida a integral:
\int_{-\pi}^{\pi}2x\,dx = 2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-\pi}^{\pi} = \left[x^2\right]_{-\pi}^{\pi} = \pi^2-\pi^2=0,
porque 2x é função ímpar e integra zero num intervalo simétrico.
\int_{-\pi}^{\pi} (-3)\,dx = -3\cdot(2\pi)=-6\pi.
Logo
a_0=\frac{1}{\pi}\bigl(0-6\pi\bigr)=-6.
Portanto o termo constante na série é a_0/2=-3, que coincide com a parte par -3 que encontramos.

Passo 6

Cálculo de a_n para n\ge1:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (2x-3)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl(2\int_{-\pi}^{\pi} x\cos(nx)\,dx -3\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx\Bigr).
  • O integrando x\cos(nx) é produto de função ímpar ( x) por função par ( \cos(nx)), logo é função ímpar; integral em [-\pi,\pi] de função ímpar é 0.
  • A integral \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx=0 para n\ge1 (uma ou mais oscilações completas).
    Portanto
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 7

Cálculo de b_n para n\ge1:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (2x-3)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl(2\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx -3\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx\Bigr).
A segunda integral \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx=0 (seno é ímpar, integral em intervalo simétrico é 0). Então
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Note que x\sin(nx) é produto de ímpar por ímpar, portanto é função par; podemos usar
\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = 2\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Calcule I_n=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx por partes: tome u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
I_n = \left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi} + \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
O termo integral remanescente é \dfrac{1}{n}\left[\dfrac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi}=\dfrac{1}{n^2}\bigl(\sin(n\pi)-0\bigr)=0. Portanto
I_n = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}.
Então
\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = 2I_n = -\frac{2\pi(-1)^n}{n}.
Substituindo em b_n:
b_n=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{2\pi(-1)^n}{n}\right)= -\frac{4(-1)^n}{n}= \frac{4(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 8

Resumo dos coeficientes e consequência:
  • a_0=-6, logo termo constante a_0/2=-3.
  • a_n=0 para todo n\ge1.
  • b_n=\dfrac{4(-1)^{n+1}}{n} para todo n\ge1.
Portanto todos os coeficientes a_n (com n\ge1) são nulos; os b_n são não nulos e decaem como 1/n com sinal alternado.

Passo 9

Escrevendo a série de Fourier (forma geral substituída):
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr) = -3 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).

Resposta

(a) f não é par nem ímpar.
(b) a_n=0 para todo n\ge1 (apenas a_0=-6 é não nulo).
(c) \displaystyle f(x)\sim -3+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).

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