(1,0 points) Considere f(x)=2 x-3, definida em [-\pi, \pi] e estendida periodicamente.
(a) Classifique a função como par, ímpar ou nenhuma.
(b) Determine quais coeficientes de Fourier são nulos.
(c) Escreva a forma geral da série de Fourier.
Passo 1
O enunciado dá a função f definida em [-\pi,\pi] por
f(x)=2x-3,
e essa função é estendida periodicamente (período 2\pi). O que o exercício pede:
(a) Classificar f como par, ímpar ou nenhuma das duas.
(b) Determinar quais coeficientes de Fourier são nulos.
(c) Escrever a forma geral da série de Fourier (no intervalo [-\pi,\pi] com a extensão periódica).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Domínio fundamental: [-\pi,\pi].
Fórmula explícita: f(x)=2x-3.
A função é periódica com período 2\pi (extensão periódica padrão).
Passo 2
Definição e teste de paridade (passo didático):
Uma função g é par se \,g(-x)=g(x) para todo x.
Uma função g é ímpar se \,g(-x)=-g(x) para todo x.
Vamos verificar para f(x)=2x-3:
f(-x)=2(-x)-3=-2x-3.
Compare com f(x)=2x-3 e com -f(x)=-2x+3:
f(-x)\neq f(x) (logo não é par).
f(-x)\neq -f(x) (logo não é ímpar).
Portanto, f não é par nem ímpar. (Observação útil: f pode ser decomposta em parte par e parte ímpar; veremos isso depois.)
Passo 3
Decomposição em parte par e ímpar (insight útil para Fourier):
Qualquer função pode ser escrita como soma de uma parte par e uma parte ímpar:
onde -3 é par (constante) e 2x é ímpar. Isto já antecipa que a parte par dará termos em cosseno (e o termo constante), e a parte ímpar dará termos em seno na série de Fourier.
Passo 4
Fórmulas padrão dos coeficientes de Fourier (no intervalo [-\pi,\pi]):
A série de Fourier de uma função f em [-\pi,\pi] é, convensionalmente,
(a) f não é par nem ímpar.
(b) a_n=0 para todo n\ge1 (apenas a_0=-6 é não nulo).
(c) \displaystyle f(x)\sim -3+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).