(2 points) Considere o campo vetorial
e a curva
dada pela interseção da superfície
com o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista da origem.
a) Parametrize a curva C. (Dica: Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para simplificar a parametrização.)
b) Calcule a integral de linha
diretamente, utilizando a parametrização obtida.
c) Verifique se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial
tal que
.
d) Recalcule a integral de linha
utilizando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, caso o campo seja conservativo. Compare com o resultado obtido no item (b).
e) Interprete fisicamente o significado da integral de linha, considerando que
representa um campo de forças.
a) Parametrize a curva C. (Dica: Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para simplificar a parametrização.)
b) Calcule a integral de linha
c) Verifique se o campo
d) Recalcule a integral de linha
e) Interprete fisicamente o significado da integral de linha, considerando que
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva
que é a interseção da superfície
(cone) com o plano
. A curva é orientada no sentido anti-horário quando vista da origem.
As perguntas são:
a) Parametrizar a curva .
b) Calcular diretamente usando a parametrização.
c) Verificar se é conservativo; se for, encontrar uma função potencial
tal que
.
d) Recalcular a integral usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (se for conservativo) e comparar com (b).
e) Interpretar fisicamente o significado da integral de linha, dado que representa um campo de forças.
a) Parametrizar a curva
b) Calcular diretamente
c) Verificar se
d) Recalcular a integral usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (se for conservativo) e comparar com (b).
e) Interpretar fisicamente o significado da integral de linha, dado que
Informações relevantes dadas:
- A curva
é fechada (interseção de um plano com um cone formando uma curva fechada). - A orientação é definida “vista da origem” como anti-horária.
- O campo
é explicitamente dado por componentes.
A resolução começa a partir da parametrização.
Passo 2
Parametrização da curva
.
Ideia (didática): usar coordenadas cilíndricas simplifica porque a superfície do cone tem a forma
(já que
com
) e no plano usamos a relação linear entre
. Em coordenadas cilíndricas:
onde
é o ângulo (vamos usar
).
Substituindo na equação do plano
:
Fatorando
:
Logo
Portanto a parametrização da curva é, para
,
Checagem da orientação (didática e necessária): precisamos que
crescente percorra
no sentido anti-horário quando vista da origem. Para verificar isso computamos o sinal de
onde
é normal ao plano
. Cálculo curto (passo técnico): escrevendo
com
, obtemos
Então
Como a origem está do lado oposto ao vetor
em relação ao plano, a condição “anti-horário vista da origem” equivale a exigir que
. Para valores de
genéricos (por exemplo
pequeno positivo) vemos que
, portanto com
aumentando a orientação dada acima é a desejada (se por acaso fosse o contrário, trocaríamos
). Conclusão: a parametrização acima com
indo de
a
respeita a orientação pedida.
Passo 3
Calcular diretamente
usando a parametrização.
Primeiro, escrevemos
. A integral é
Agora montamos o integrando componente-a-componente (didática: faça sempre assim na prova; é repetitivo, mas evita erros). Escrevendo
, temos
Reagrupando termos (estratégia didática: tentar reconhecer uma derivada total):
Aqui usei a regra da cadeia e a regra do produto (didática: regra da cadeia diz que
; regra do produto diz
). Não precisamos substituir as fórmulas explícitas de
porque o integrando já se reconhece como derivada total.
Portanto
Integração direta:
Como a parametrização é
-periódica e a curva é fechada,
. Logo os valores nos extremos coincidem e a diferença é zero. Assim
Observação didática curta: este cálculo já mostra que o integrando é uma derivada total de uma combinação de
— pista forte de que
é conservativo. Mas faremos a verificação formal no próximo passo.
Passo 4
Verificar se
é conservativo e encontrar uma função potencial
.
Definição prática (didática): um campo vetorial
é conservativo se existe
tal que
, isto é
Um teste rápido em domínios simplesmente conexos é verificar se o rotacional é nulo:
.
Calculemos
com
:
Calculando cada componente:
logo primeira componente
.
logo segunda componente
.
logo terceira componente
.
Portanto
em todo
. O domínio do campo é todo
(campo definido para todos os
), que é simplesmente conexo; assim
é conservativo.
Para achar a função potencial
, integramos as componentes passo a passo (didática: escolha sempre a componente mais simples primeiro).
Começando por : integrar em relação a
(tratando
como constantes):
Começando por
onde
é uma função arbitrária de
.
Agora derivamos em
e igualamos a
:
Isto implica
. Integrando em
:
onde
é função só de
.
Finalmente usamos a componente em
:
Isto deve ser igual a
. Assim
.
Podemos escolher a constante zero. Logo uma função potencial é
Verificação rápida (didática): compute
e recupere
:
,
,
, que batem com
.
Passo 5
Recalcular a integral de linha usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Teorema (didática e útil na prova): se
é conservativo e
é uma curva contínua de
até
, então
No nosso caso
é uma curva fechada (
), logo o início e o fim coincidem e a diferença de potencial é zero. Assim
Comparação: o resultado coincide com o obtido diretamente no Passo 3 (zero). Excelente sinal de consistência.
Passo 6
Interpretação física (didática e intuitiva, para te confortar na prova).
Se
representa um campo de forças, então a integral de linha
é o trabalho realizado pela força
ao deslocar uma partícula ao longo da curva
. Como
é conservativo (existe energia potencial
tal que
ou, no nosso caso positivo,
), o trabalho realizado ao percorrer um caminho fechado é zero. Fisicamente isso significa que a energia fornecida pela força numa parte do percurso é exatamente recuperada quando se retorna ao ponto inicial — não há “perda” ou ganho líquido de energia ao voltar ao mesmo ponto. Em termos de potencial, o trabalho entre dois pontos depende só da diferença de potencial entre esses pontos, e para um laço fechado essa diferença é zero.
Força final de incentivo: você fez bem em pedir os passos — reconhecer uma derivada total no integrando e checar o rotacional são teclas que aparecem muito nas provas. Fica tranquilo: a resposta final para a integral é zero.
Resposta
(a)
.
(b)
(c) Sim. (qualquer constante somada é permitida).
(d) Recalculando com o Teorema Fundamental: . (Concorda com (b).)
(e) A integral representa o trabalho realizado por ao deslocar uma partícula ao longo de
. Como
é conservativo, o trabalho ao longo de qualquer laço fechado é
(energia recuperada ao retornar ao ponto inicial).
(b)
(c) Sim.
(d) Recalculando com o Teorema Fundamental:
(e) A integral representa o trabalho realizado por