(2 points) Considere o campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=\left(e^{y}, x e^{y}+\sin z, y \cos z\right) e a curva C dada pela interseção da superfície z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} com o plano x+y+z=3, orientada no sentido anti-horário quando vista da origem.
a) Parametrize a curva C. (Dica: Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para simplificar a parametrização.)
b) Calcule a integral de linha \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} diretamente, utilizando a parametrização obtida.
c) Verifique se o campo \mathbf{F} é conservativo. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial \varphi(x, y, z) tal que \mathbf{F}=\nabla \varphi.
d) Recalcule a integral de linha \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} utilizando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, caso o campo seja conservativo. Compare com o resultado obtido no item (b).
e) Interprete fisicamente o significado da integral de linha, considerando que \mathbf{F} representa um campo de forças.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=\big(e^{y},\,x e^{y}+\sin z,\,y\cos z\big) e a curva C que é a interseção da superfície z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (cone) com o plano x+y+z=3. A curva é orientada no sentido anti-horário quando vista da origem.
As perguntas são:
a) Parametrizar a curva C.
b) Calcular diretamente \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} usando a parametrização.
c) Verificar se \mathbf{F} é conservativo; se for, encontrar uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi.
d) Recalcular a integral usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (se for conservativo) e comparar com (b).
e) Interpretar fisicamente o significado da integral de linha, dado que \mathbf{F} representa um campo de forças.
Informações relevantes dadas:
  • A curva C é fechada (interseção de um plano com um cone formando uma curva fechada).
  • A orientação é definida “vista da origem” como anti-horária.
  • O campo \mathbf{F} é explicitamente dado por componentes.
    A resolução começa a partir da parametrização.

Passo 2

Parametrização da curva C.
Ideia (didática): usar coordenadas cilíndricas simplifica porque a superfície do cone tem a forma z=r (já que z=\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow z=r com r\ge0) e no plano usamos a relação linear entre x,y,z. Em coordenadas cilíndricas:
x=r\cos t,\qquad y=r\sin t,\qquad z=r,
onde t é o ângulo (vamos usar t\in[0,2\pi)).
Substituindo na equação do plano x+y+z=3:
r\cos t + r\sin t + r = 3.
Fatorando r:
r\big(1+\cos t+\sin t\big)=3.
Logo
r(t)=\dfrac{3}{1+\cos t+\sin t},\qquad t\in[0,2\pi).
Portanto a parametrização da curva é, para t\in[0,2\pi),
\mathbf{r}(t)=\left(\dfrac{3\cos t}{1+\cos t+\sin t},\;\dfrac{3\sin t}{1+\cos t+\sin t},\;\dfrac{3}{1+\cos t+\sin t}\right).
Checagem da orientação (didática e necessária): precisamos que t crescente percorra C no sentido anti-horário quando vista da origem. Para verificar isso computamos o sinal de
\mathbf{n}\cdot\big(\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)\big),
onde \mathbf{n}=(1,1,1) é normal ao plano x+y+z=3. Cálculo curto (passo técnico): escrevendo \mathbf{r}(t)=r(t)\mathbf{u}(t) com \mathbf{u}(t)=(\cos t,\sin t,1), obtemos
\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)=r(t)^2\big(\mathbf{u}\times\mathbf{u}_\perp\big)=r(t)^2(-\cos t,\,-\sin t,\,1).
Então
\mathbf{n}\cdot\big(\mathbf{r}\times\mathbf{r}'\big)=r(t)^2\big(1-\cos t-\sin t\big).
Como a origem está do lado oposto ao vetor \mathbf{n} em relação ao plano, a condição “anti-horário vista da origem” equivale a exigir que \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}\times\mathbf{r}')<0. Para valores de t genéricos (por exemplo t pequeno positivo) vemos que 1-\cos t-\sin t<0, portanto com t aumentando a orientação dada acima é a desejada (se por acaso fosse o contrário, trocaríamos t\mapsto -t). Conclusão: a parametrização acima com t indo de 0 a 2\pi respeita a orientação pedida.

Passo 3

Calcular diretamente \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} usando a parametrização.
Primeiro, escrevemos d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt. A integral é
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi}\mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.
Agora montamos o integrando componente-a-componente (didática: faça sempre assim na prova; é repetitivo, mas evita erros). Escrevendo \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), temos
\mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big)\cdot\mathbf{r}'(t) = e^{y(t)}x'(t) + \big(x(t)e^{y(t)}+\sin z(t)\big)y'(t) + \big(y(t)\cos z(t)\big)z'(t).
Reagrupando termos (estratégia didática: tentar reconhecer uma derivada total):
\begin{aligned} \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big)\cdot\mathbf{r}'(t) &= \big(x'(t)e^{y(t)} + x(t)e^{y(t)}y'(t)\big) + \big(y'(t)\sin z(t) + y(t)\cos z(t) z'(t)\big) \\\ &= \dfrac{d}{dt}\big(x(t)e^{y(t)}\big) + \dfrac{d}{dt}\big(y(t)\sin z(t)\big) \\\ &= \dfrac{d}{dt}\big( x(t)e^{y(t)} + y(t)\sin z(t)\big). \end{aligned}
Aqui usei a regra da cadeia e a regra do produto (didática: regra da cadeia diz que \dfrac{d}{dt}f(y(t))=f'(y(t))y'(t); regra do produto diz \dfrac{d}{dt}(u v)=u'v+uv'). Não precisamos substituir as fórmulas explícitas de x(t),y(t),z(t) porque o integrando já se reconhece como derivada total.
Portanto
\int_{0}^{2\pi}\mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_{0}^{2\pi}\dfrac{d}{dt}\big( x(t)e^{y(t)} + y(t)\sin z(t)\big)\,dt.
Integração direta:
\int_{0}^{2\pi}\dfrac{d}{dt}(\cdots)\,dt = \big[ x(t)e^{y(t)} + y(t)\sin z(t)\big]_{t=0}^{t=2\pi}.
Como a parametrização é 2\pi-periódica e a curva é fechada, \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}(2\pi). Logo os valores nos extremos coincidem e a diferença é zero. Assim
\boxed{\displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.}
Observação didática curta: este cálculo já mostra que o integrando é uma derivada total de uma combinação de x,y,z — pista forte de que \mathbf{F} é conservativo. Mas faremos a verificação formal no próximo passo.

Passo 4

Verificar se \mathbf{F} é conservativo e encontrar uma função potencial \varphi.
Definição prática (didática): um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) é conservativo se existe \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}, isto é
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=R.
Um teste rápido em domínios simplesmente conexos é verificar se o rotacional é nulo: \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Calculemos \nabla\times\mathbf{F} com \mathbf{F}=(P,Q,R)=\big(e^{y},\,x e^{y}+\sin z,\,y\cos z\big):
\nabla\times\mathbf{F}=\Big( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \Big).
Calculando cada componente:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y\cos z)=\cos z,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x e^{y}+\sin z)=\cos z,
logo primeira componente =\cos z-\cos z=0.
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(e^{y})=0,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y\cos z)=0,
logo segunda componente =0-0=0.
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x e^{y}+\sin z)=e^{y},\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(e^{y})=e^{y},
logo terceira componente =e^{y}-e^{y}=0.
Portanto \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em todo \mathbb{R}^3. O domínio do campo é todo \mathbb{R}^3 (campo definido para todos os (x,y,z)), que é simplesmente conexo; assim \mathbf{F} é conservativo.
Para achar a função potencial \varphi, integramos as componentes passo a passo (didática: escolha sempre a componente mais simples primeiro).
Começando por \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=e^{y}: integrar em relação a x (tratando y,z como constantes):
\varphi(x,y,z)=x e^{y} + g(y,z),
onde g é uma função arbitrária de y,z.
Agora derivamos em y e igualamos a Q:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=x e^{y} + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z)\stackrel{!}{=} x e^{y} + \sin z.
Isto implica \dfrac{\partial g}{\partial y}=\sin z. Integrando em y:
g(y,z)=y\sin z + h(z),
onde h(z) é função só de z.
Finalmente usamos a componente em z:
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x e^{y} + y\sin z + h(z)\big)= y\cos z + h'(z).
Isto deve ser igual a R=y\cos z. Assim h'(z)=0\Rightarrow h(z)=\text{constante}.
Podemos escolher a constante zero. Logo uma função potencial é
\boxed{\varphi(x,y,z)=x e^{y}+y\sin z.}
Verificação rápida (didática): compute \nabla\varphi e recupere \mathbf{F}: \partial\varphi/\partial x=e^{y}, \partial\varphi/\partial y = x e^{y}+\sin z, \partial\varphi/\partial z = y\cos z, que batem com \mathbf{F}.

Passo 5

Recalcular a integral de linha usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Teorema (didática e útil na prova): se \mathbf{F}=\nabla\varphi é conservativo e \gamma é uma curva contínua de a até b, então
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi\big(\gamma(b)\big)-\varphi\big(\gamma(a)\big).
No nosso caso C é uma curva fechada ( \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}(2\pi)), logo o início e o fim coincidem e a diferença de potencial é zero. Assim
\boxed{\displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.}
Comparação: o resultado coincide com o obtido diretamente no Passo 3 (zero). Excelente sinal de consistência.

Passo 6

Interpretação física (didática e intuitiva, para te confortar na prova).
Se \mathbf{F} representa um campo de forças, então a integral de linha \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} é o trabalho realizado pela força \mathbf{F} ao deslocar uma partícula ao longo da curva C. Como \mathbf{F} é conservativo (existe energia potencial \varphi tal que \mathbf{F}=-\nabla U ou, no nosso caso positivo, \mathbf{F}=\nabla\varphi), o trabalho realizado ao percorrer um caminho fechado é zero. Fisicamente isso significa que a energia fornecida pela força numa parte do percurso é exatamente recuperada quando se retorna ao ponto inicial — não há “perda” ou ganho líquido de energia ao voltar ao mesmo ponto. Em termos de potencial, o trabalho entre dois pontos depende só da diferença de potencial entre esses pontos, e para um laço fechado essa diferença é zero.
Força final de incentivo: você fez bem em pedir os passos — reconhecer uma derivada total no integrando e checar o rotacional são teclas que aparecem muito nas provas. Fica tranquilo: a resposta final para a integral é zero.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\left(\dfrac{3\cos t}{1+\cos t+\sin t},\;\dfrac{3\sin t}{1+\cos t+\sin t},\;\dfrac{3}{1+\cos t+\sin t}\right),\\ t\in[0,2\pi).
(b) \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.
(c) Sim. \displaystyle \varphi(x,y,z)=x e^{y}+y\sin z (qualquer constante somada é permitida).
(d) Recalculando com o Teorema Fundamental: \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início})=0í. (Concorda com (b).)
(e) A integral representa o trabalho realizado por \mathbf{F} ao deslocar uma partícula ao longo de C. Como \mathbf{F} é conservativo, o trabalho ao longo de qualquer laço fechado é 0 (energia recuperada ao retornar ao ponto inicial).

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