Duas fendas A e B de larguras 0,50 \mathrm{~mm} e 0,25 \mathrm{~mm}, respectivamente, são iluminadas com luz de comprimento de onda 500 nm , criando cada uma um padrão de difração. Qual a razão entre a largura linear do máximo central da difração produzida pela fenda A e pela fenda B ?

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que ele pede (pega tudo sem pressa — já tá no caminho certo!).
  • Dados fornecidos:
    • Largura da fenda A: \,a_A = 0,50\\ \mathrm{mm}.
    • Largura da fenda B: \,a_B = 0,25\\ \mathrm{mm}.
    • Comprimento de onda da luz: \,\lambda = 500\\ \mathrm{nm}.
  • O que o enunciado pede:
    • A razão entre a largura linear do máximo central da difração produzida pela fenda A e pela fenda B, isto é, calcular
    \frac{W_A}{W_B},
    onde W_A e W_B são as larguras lineares do máximo central das fendas A e B, respectivamente.

Passo 2

Qual é a relação teórica entre a largura da fenda e a difração? Explico passo a passo.
  • Para uma fenda simples (fenda única), os mínimos de intensidade (os primeiros mínimos que limitam o máximo central) ocorrem quando vale a condição
a \sin\theta = m\,\lambda,
onde:
  • a é a largura da fenda,
  • \theta é o ângulo medido a partir da direção central (normal à fenda),
  • \lambda é o comprimento de onda,
  • m é um inteiro não nulo ( m=\pm1,\pm2,\dots). Para o primeiro mínimo usamos m=\pm1.
  • Para o primeiro mínimo (lado positivo), com m=1, temos
a \sin\theta_1 = \lambda.
O máximo central fica entre os mínimos de m=-1 e m=+1, então a largura angular do máximo central é aproximadamente 2\theta_1.

Passo 3

Como transformar essa largura angular em largura linear na tela?
  • Se a tela estiver a uma distância L da fenda, a posição do primeiro mínimo na tela (medida a partir do centro) é
y_1 = L \tan\theta_1.
A largura linear total do máximo central é
W = 2y_1 = 2L \tan\theta_1.
  • Usualmente, em difração de fenda estreita com luz visível, os ângulos \theta_1 são pequenos. Então podemos usar a aproximação de pequeno ângulo
\sin\theta_1 \approx \tan\theta_1 \approx \theta_1 \quad(\text{em radianos}).
Assim, da condição a\sin\theta_1=\lambda obtemos
\theta_1 \approx \frac{\lambda}{a},
e portanto a largura linear aproximada do máximo central é
W \approx 2L\,\theta_1 \approx 2L\,\frac{\lambda}{a}.
  • Observação importante: L e \lambda são iguais para as duas fendas (a mesma luz e, presumivelmente, mesma tela), então ao formar a razão W_A/W_B o fator 2L\lambda se cancela. Logo a largura do máximo central é inversamente proporcional à largura da fenda:
W \propto \frac{1}{a}.

Passo 4

Deduzindo a fórmula da razão entre as larguras lineares W_A e W_B.
  • Como W_A \approx \dfrac{2L\lambda}{a_A} e W_B \approx \dfrac{2L\lambda}{a_B}, temos
\frac{W_A}{W_B} \approx \frac{\dfrac{2L\lambda}{a_A}}{\dfrac{2L\lambda}{a_B}} = \frac{a_B}{a_A}.
Portanto, para este problema basta calcular \dfrac{a_B}{a_A}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos (atente que estou pegando os valores do enunciado).
  • Converter as larguras para as mesmas unidades é opcional aqui porque elas já estão em milímetros; como vamos fazer uma razão, as unidades se cancelam. Usando os valores dados:
a_A = 0,50\\ \mathrm{mm},\qquad a_B = 0,25\\ \mathrm{mm}.
  • Calculando a razão:
\frac{W_A}{W_B} \approx \frac{a_B}{a_A} = \frac{0,25}{0,50} = 0,5.

Passo 6

Checagem rápida da aproximação de pequeno ângulo (só para ficar tranquilo):
  • Ângulo aproximado para A:
\theta_{1,A}\approx\frac{\lambda}{a_A}=\frac{500\times10^{-9}\\ \mathrm{m}}{0,50\times10^{-3}\\ \mathrm{m}}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{rad}\approx0{,}057^\circ,
muito pequeno — aproximação válida.
  • Ângulo aproximado para B:
\theta_{1,B}\approx\frac{\lambda}{a_B}=\frac{500\times10^{-9}}{0,25\times10^{-3}}=2{,}0\times10^{-3}\\ \text{rad}\approx0{,}114^\circ,
também pequeno — boa.
Isso confirma que a aproximação usada é adequada e que a razão encontrada é confiável.

Resposta

\dfrac{W_A}{W_B}=0,5

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