Duas fendas
e
de larguras
e
, respectivamente, são iluminadas com luz de comprimento de onda 500 nm , criando cada uma um padrão de difração. Qual a razão entre a largura linear do máximo central da difração produzida pela fenda A e pela fenda B ?
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que ele pede (pega tudo sem pressa — já tá no caminho certo!).
-
Dados fornecidos:
- Largura da fenda A:
. - Largura da fenda B:
. - Comprimento de onda da luz:
.
- Largura da fenda A:
-
O que o enunciado pede:
- A razão entre a largura linear do máximo central da difração produzida pela fenda A e pela fenda B, isto é, calcular
ondee são as larguras lineares do máximo central das fendas A e B, respectivamente.
Passo 2
Qual é a relação teórica entre a largura da fenda e a difração? Explico passo a passo.
- Para uma fenda simples (fenda única), os mínimos de intensidade (os primeiros mínimos que limitam o máximo central) ocorrem quando vale a condição
onde:
-
é a largura da fenda, -
é o ângulo medido a partir da direção central (normal à fenda), -
é o comprimento de onda, -
é um inteiro não nulo ( ). Para o primeiro mínimo usamos . -
Para o primeiro mínimo (lado positivo), com
, temos
O máximo central fica entre os mínimos de
e
, então a largura angular do máximo central é aproximadamente
.
Passo 3
Como transformar essa largura angular em largura linear na tela?
- Se a tela estiver a uma distância
da fenda, a posição do primeiro mínimo na tela (medida a partir do centro) é
A largura linear total do máximo central é
- Usualmente, em difração de fenda estreita com luz visível, os ângulos
são pequenos. Então podemos usar a aproximação de pequeno ângulo
Assim, da condição
obtemos
e portanto a largura linear aproximada do máximo central é
- Observação importante:
e são iguais para as duas fendas (a mesma luz e, presumivelmente, mesma tela), então ao formar a razão o fator se cancela. Logo a largura do máximo central é inversamente proporcional à largura da fenda:
Passo 4
Deduzindo a fórmula da razão entre as larguras lineares
e
.
- Como
e , temos
Portanto, para este problema basta calcular
.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos (atente que estou pegando os valores do enunciado).
- Converter as larguras para as mesmas unidades é opcional aqui porque elas já estão em milímetros; como vamos fazer uma razão, as unidades se cancelam. Usando os valores dados:
- Calculando a razão:
Passo 6
Checagem rápida da aproximação de pequeno ângulo (só para ficar tranquilo):
- Ângulo aproximado para A:
muito pequeno — aproximação válida.
- Ângulo aproximado para B:
também pequeno — boa.
Isso confirma que a aproximação usada é adequada e que a razão encontrada é confiável.