(1,0 points) Considere f(x)=x^{2}+x, em [-\pi, \pi].
(a) Separe a função em parte par e parte ímpar.
(b) Determine o coeficiente a_{0}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^{2}+x definida em [- \pi,\pi] e pede duas coisas:
  • (a) separar a função em parte par e parte ímpar;
  • (b) determinar o coeficiente a_{0} (da série de Fourier em [- \pi,\pi], pelo enunciado).
Informações relevantes que temos:
  • A expressão analítica de f: f(x)=x^{2}+x.
  • O domínio simétrico em torno de zero: [- \pi,\pi], o que permite usar propriedades de funções pares/ímpares e integrais simétricas.

Passo 2

Primeiro, algumas definições e propriedades básicas (bem didáticas, passo a passo):
  • Uma função g é par se g(-x)=g(x) para todo x. Exemplos: x^{2}, \cos x.
  • Uma função h é ímpar se h(-x)=-h(x) para todo x. Exemplos: x, \sin x.
  • Toda função f pode ser escrita como soma de sua parte par f_{e} e sua parte ímpar f_{o} pelas fórmulas
f_{e}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},\qquad f_{o}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.
Essas fórmulas garantem que f(x)=f_{e}(x)+f_{o}(x), que f_{e} é par e f_{o} é ímpar. Vou aplicar isso ao nosso f.

Passo 3

Calcular f(-x) explicitamente:
f(-x)=(-x)^{2}+(-x)=x^{2}-x.
Isso é só substituir x por -x na fórmula de f.

Passo 4

Agora a parte par usando a fórmula:
f_{e}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} =\frac{(x^{2}+x)+(x^{2}-x)}{2} =\frac{2x^{2}}{2} =x^{2}.
Conclusão: a parte par de f é x^{2}. Note que isso faz sentido: x^{2} é par.

Passo 5

Agora a parte ímpar:
f_{o}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2} =\frac{(x^{2}+x)-(x^{2}-x)}{2} =\frac{2x}{2} =x.
Conclusão: a parte ímpar de f é x. Novamente faz sentido, pois x é ímpar.

Passo 6

Agora vamos ao coeficiente a_{0}. Usando a convenção padrão da série de Fourier em [- \pi,\pi],
a expansão é
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr),
onde o coeficiente a_{0} é dado por
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.
Observação útil (que vai simplificar o cálculo): como já separei f=f_{e}+f_{o} com f_{e}(x)=x^{2} e f_{o}(x)=x, e como a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero, temos
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx =\int_{-\pi}^{\pi} f_{e}(x)\,dx + \int_{-\pi}^{\pi} f_{o}(x)\,dx =\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\,dx + 0.
(Explicando: f_{o}(x)=x é ímpar, então \int_{-\pi}^{\pi} x\,dx=0.)

Passo 7

Calcular a integral de x^{2}:
\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-\pi}^{\pi} =\frac{\pi^{3}}{3}-\frac{(-\pi)^{3}}{3} =\frac{\pi^{3}}{3}-\left(-\frac{\pi^{3}}{3}\right) =\frac{2\pi^{3}}{3}.

Passo 8

Usando a fórmula de a_{0}:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\pi^{3}}{3} =\frac{2\pi^{2}}{3}.
(Observação final: o termo constante na série de Fourier é \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{\pi^{2}}{3}, se precisar.)

Resposta

(a) Parte par: x^{2}. Parte ímpar: x.
(b) a_{0}=\dfrac{2\pi^{2}}{3}.

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