(1,0 points) Considere
, em
.
(a) Separe a função em parte par e parte ímpar.
(b) Determine o coeficiente
.
(a) Separe a função em parte par e parte ímpar.
(b) Determine o coeficiente
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida em
e pede duas coisas:
- (a) separar a função em parte par e parte ímpar;
- (b) determinar o coeficiente
(da série de Fourier em , pelo enunciado).
Informações relevantes que temos:
- A expressão analítica de
: . - O domínio simétrico em torno de zero:
, o que permite usar propriedades de funções pares/ímpares e integrais simétricas.
Passo 2
Primeiro, algumas definições e propriedades básicas (bem didáticas, passo a passo):
- Uma função
é par se para todo . Exemplos: , . - Uma função
é ímpar se para todo . Exemplos: , . - Toda função
pode ser escrita como soma de sua parte par e sua parte ímpar pelas fórmulas
Essas fórmulas garantem que
, que
é par e
é ímpar. Vou aplicar isso ao nosso
.
Passo 3
Calcular
explicitamente:
Isso é só substituir
por
na fórmula de
.
Passo 4
Agora a parte par usando a fórmula:
Conclusão: a parte par de
é
. Note que isso faz sentido:
é par.
Passo 5
Agora a parte ímpar:
Conclusão: a parte ímpar de
é
. Novamente faz sentido, pois
é ímpar.
Passo 6
Agora vamos ao coeficiente
. Usando a convenção padrão da série de Fourier em
,
a expansão é
a expansão é
onde o coeficiente
é dado por
Observação útil (que vai simplificar o cálculo): como já separei
com
e
, e como a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero, temos
(Explicando:
é ímpar, então
.)
Passo 7
Calcular a integral de
:
Passo 8
Usando a fórmula de
:
(Observação final: o termo constante na série de Fourier é
, se precisar.)
Resposta
(a) Parte par:
. Parte ímpar:
.
(b)
.