(3,0 points) EDO linear de \mathbf{1}^{\mathbf{a}} ordem - fator integrante
Considere o problema de valor inicial
y^{\prime}(t)+2 y(t)=4 e^{-t}, \quad y(0)=1 .
(a) (1,0 points) Escreva a equação na forma padrão y^{\prime}+p(t) y=q(t) e encontre um fator integrante \mu(t) adequado.
(b) (2,0 points) Usando o fator integrante, resolva o problema de valor inicial, encontrando y(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e a condição inicial:
y^{\prime}(t)+2y(t)=4e^{-t},\qquad y(0)=1.
O problema pede duas coisas:
  • (a) escrever a equação na forma padrão \,y'+p(t)y=q(t)\, e encontrar um fator integrante \mu(t);
  • (b) usar esse fator integrante para resolver o problema de valor inicial e encontrar y(t).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão significa identificar p(t) e q(t) na equação
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t).
Comparando com a equação dada, obtemos
p(t)=2,\qquad q(t)=4e^{-t}.

Passo 3

Explicar o porquê do fator integrante: procura-se uma função \mu(t) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(t)y(t). Ou seja, queremos \mu(t) que satisfaça
\big(\mu(t)y(t)\big)'=\mu(t)y'(t)+\mu'(t)y(t).
Se tivermos \mu'(t)=p(t)\mu(t), então
\mu(t)y'(t)+\mu'(t)y(t)=\mu(t)\big(y'(t)+p(t)y(t)\big),
que é exatamente o que aparece multiplicando a equação original. Portanto escolhe-se \mu(t) como solução de \mu'(t)=p(t)\mu(t), isto é,
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).

Passo 4

Calcular explicitamente o fator integrante com p(t)=2:
\mu(t)=\exp\!\left(\int 2\,dt\right)=\exp(2t)=e^{2t}.
Verificação rápida: \mu'(t)=2e^{2t}=p(t)\mu(t), ok.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(t)=e^{2t}. Temos
e^{2t}y'(t)+2e^{2t}y(t)=4e^{2t}e^{-t}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{2t}y(t), logo
\big(e^{2t}y(t)\big)'=4e^{t}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a t:
\int \big(e^{2t}y(t)\big)'\,dt=\int 4e^{t}\,dt.
Isso dá
e^{2t}y(t)=4e^{t}+C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Isolar y(t):
y(t)=4e^{-t}+C e^{-2t}.
Aplicar a condição inicial y(0)=1:
1=4e^{0}+C e^{0}=4+C \quad\Rightarrow\quad C=-3.
Portanto
y(t)=4e^{-t}-3e^{-2t}.

Passo 8

Checagem rápida (opcional mas boa prática): calcular y'(t) e verificar a equação.
y'(t)=-4e^{-t}+6e^{-2t}.
Logo
y'(t)+2y(t)=(-4e^{-t}+6e^{-2t})+2(4e^{-t}-3e^{-2t})=4e^{-t},
que coincide com o lado direito original. A solução está correta.

Resposta

y(t)=4e^{-t}-3e^{-2t}

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