(3,0 points) EDO linear de
ordem - fator integrante
Considere o problema de valor inicial
(a) (1,0 points) Escreva a equação na forma padrão
e encontre um fator integrante
adequado.
(b) (2,0 points) Usando o fator integrante, resolva o problema de valor inicial, encontrando
.
(b) (2,0 points) Usando o fator integrante, resolva o problema de valor inicial, encontrando
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e a condição inicial:
O problema pede duas coisas:
- (a) escrever a equação na forma padrão
e encontrar um fator integrante ; - (b) usar esse fator integrante para resolver o problema de valor inicial e encontrar
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão significa identificar
e
na equação
Comparando com a equação dada, obtemos
Passo 3
Explicar o porquê do fator integrante: procura-se uma função
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada de
. Ou seja, queremos
que satisfaça
Se tivermos
, então
que é exatamente o que aparece multiplicando a equação original. Portanto escolhe-se
como solução de
, isto é,
Passo 4
Calcular explicitamente o fator integrante com
:
Verificação rápida:
, ok.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Temos
O lado esquerdo é a derivada de
, logo
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é constante de integração.
Passo 7
Isolar
:
Aplicar a condição inicial
:
Portanto
Passo 8
Checagem rápida (opcional mas boa prática): calcular
e verificar a equação.
Logo
que coincide com o lado direito original. A solução está correta.