Uma esfera é solta sobre a borda de um funil cônico e gira em torno do centro. À medida que perde energia por atrito com o ar, ela desce em espiral.
a) O momento angular da esfera é conservado? Justifique.
b) O que acontece com a velocidade angular durante a descida?
c) Que grandezas se transformam ao longo do processo?

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera que gira em torno do eixo vertical dentro de um funil cônico, perdendo energia por atrito com o ar e descendo em espiral. O conteúdo aqui envolve conservação do momento angular em presen­ça de forças externas e a análise das transformações de energia (potencial, cinética e térmica).

Passo 2

Para sabermos se o momento angular \mathbf{L} é conservado, avaliamos os torques externos em relação ao eixo vertical. A força normal do funil é sempre radial, logo seu braço de alavanca em relação ao eixo vertical é nulo e ela não cria torque. Porém, o atrito do ar é uma força tangencial que gera um torque não nulo em torno do eixo. Portanto existe um torque externo
\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}_{\rm atrito}\neq \mathbf{0}
logo o momento angular da esfera não é conservado.

Passo 3

Mesmo com \mathbf{L} diminuindo por causa do torque de arrasto, o raio r do movimento espiral diminui à medida que a esfera desce. A velocidade angular \omega está relacionada a
L = m\,r^2\,\omega.
Como L cai lentamente, mas r^2 diminui de forma mais acentuada, a relação faz \omega aumentar durante a descida (sem atrito seria crescimento ainda maior, mas com atrito o aumento é moderado).

Passo 4

No processo ocorrem as seguintes transformações de energia:
  1. A energia potencial gravitacional m g h diminui à medida que a esfera desce.
  2. Parte dessa energia potencial é convertida em energia cinética de rotação \tfrac12 m r^2\omega^2.
  3. Outra parte é dissipada pelo atrito com o ar, virando energia térmica (e som).

Resposta

a) Não, porque o atrito com o ar exerce torque externo sobre a esfera, então \mathbf{L} não se conserva.
b) A velocidade angular \omega cresce durante a descida, pois o raio r diminui mais rápido que o momento angular decai.
c) A energia potencial gravitacional se converte em energia cinética de rotação e em energia térmica dissipada pelo atrito com o ar.

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