A região z >= a x+b y é um dielétrico 1 com permissividade relativa varepsilonr 1=3,6 enquanto a região z <= a x+b y é um dielétrico 2 com permissividade relativa varepsilonr 2=3,1. Considerando que na região 1 exista um campo uniforme dado barE1=8 barax-11 baray+15 baraz(V / m), determine: o campo barE2 no dielétrico 2. Dados: a=2 e b=3. (2,5pto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois materiais dielétricos diferentes separados por uma superfície definida pela equação $ z \geq a x + b y $, onde $ a = 2 $ e $ b = 3 $. Na região $ z \geq a x + b y $ temos o dielétrico 1 com permissividade relativa $ \varepsilon_{r1} = 3,6 $ e um campo elétrico uniforme $ \bar{E}_1 = 8 \bar{a}_x - 11 \bar{a}_y + 15 \bar{a}_z $ V/m. Queremos descobrir qual é o campo elétrico $ \bar{E}2 $ na região do dielétrico 2, onde $ z \leq a x + b y $ e $ \varepsilon{r2} = 3,1 $. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de continuidade dos campos elétricos na interface entre dois dielétricos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que na interface entre dois materiais dielétricos, existem condições de contorno que os campos elétricos devem obedecer. As principais são:
  1. A componente do campo elétrico na direção perpendicular à superfície deve satisfazer:
    varepsilon1 E1perp = varepsilon2 E2perp
  2. A componente do campo elétrico na direção tangencial à superfície deve ser contínua:
    E1paral<=l = E2paral<=l
Aqui, $ \varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 $, mas como as permissividades relativas são dadas, podemos usar diretamente essa relação.

Passo 3

Vamos determinar a normal à superfície que separa os dois dielétricos. A equação da superfície é $ z = a x + b y $. O vetor normal $ \bar{n} $ a essa superfície pode ser encontrado a partir dos coeficientes de $ x $, $ y $ e $ z $ na equação:
z = a x + b y
Para $ a = 2 $ e $ b = 3 $, temos:
barn

Passo 4

Precisamos decompor o campo $ \bar{E}_1 $ nas componentes perpendicular e tangencial à superfície. A componente perpendicular é aquela na direção de $ \bar{n} $, e a tangencial é o restante.
Primeiro, normalizamos o vetor normal:
barE1
barn
Agora, calculamos a componente perpendicular $ E_{1\perp} $:
|barn| = raiz2^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
A componente tangencial $ \bar{E}_{1\parallel} $ é então:
n = barn|barn| = ( 2raiz14, 3raiz14, -1raiz14 )

Passo 5

Usando a condição de continuidade da componente tangencial:
barE1paral<=l = barE2paral<=l
E para a componente perpendicular:
varepsilon1 E1perp = varepsilon2 E2perp
Podemos resolver para $ E_{2\perp} $:
E2perp

Resposta

O campo elétrico no dielétrico 2 é aproximadamente $ \bar{E}2 \approx 9,984 \bar{n} - \bar{E}{1\parallel} $, considerando as componentes calculadas.

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