Uma polia de raio 10 cm gira a 5,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Qual é a velocidade linear de uma correia que passa por essa polia sem deslizar?

Passo 1

O enunciado dá que a polia tem raio 10\\ \text{cm} e gira com velocidade angular 5{,}0\\ \text{rad/s}. Pede a velocidade linear da correia que passa sem deslizar pela polia.
Informações relevantes:
  • raio: r=10\\ \text{cm} (vou converter para metros quando necessário);
  • velocidade angular: \omega=5{,}0\\ \text{rad/s};
  • condição: não há deslizamento entre polia e correia (ou seja, a correia se move tangencialmente com a mesma velocidade da periferia da polia).

Passo 2

Entendendo a relação entre arco e ângulo: se um ponto na borda da polia gira de um ângulo \theta (em radianos), ele percorre um arco de comprimento s dado por
s = r\theta,
onde r é o raio. Aqui:
  • s é o comprimento do arco percorrido (metros),
  • r é o raio da polia (metros),
  • \theta é o ângulo em radianos.
Essa fórmula é básica e vem da definição de radiano: um ângulo de 1 radiano corresponde a um arco cujo comprimento é igual ao raio.

Passo 3

Passando para velocidades: derivando s = r\theta em relação ao tempo t, obtemos a velocidade linear tangencial v do ponto na periferia:
v=\frac{ds}{dt}=r\frac{d\theta}{dt}=r\omega,
onde \omega=\dfrac{d\theta}{dt} é a velocidade angular (em \text{rad/s}). Explicando as variáveis:
  • v é a velocidade linear tangencial (m/s);
  • r é o raio (m);
  • \omega é a velocidade angular (rad/s).
Pela condição de não deslizamento, a velocidade da correia é igual a essa velocidade tangencial: a correia “pega” exatamente a velocidade da periferia da polia.

Passo 4

Converter o raio para unidades do SI (metros):
r=10\\ \text{cm}=0{,}10\\ \text{m}.
Manter a velocidade angular dada:
\omega=5{,}0\\ \text{rad/s}.
Aplicar a fórmula v=r\omega:
v = r\omega = 0{,}10\cdot 5{,}0.

Passo 5

Fazer a multiplicação passo a passo:
0{,}10\cdot 5{,}0 = 0{,}50.
Portanto
v = 0{,}50\\ \text{m/s},
que normalmente se escreve como 0{,}5\\ \text{m/s}.

Passo 6

Checagem rápida de consistência (opcional, só para confirmar): a frequência de rotação em revoluções por segundo é f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{5{,}0}{2\pi}. A velocidade linear também pode ser obtida por v = (2\pi r)f; fazendo as contas dá o mesmo valor 0{,}5\\ \text{m/s}. Isso confirma que o resultado está coerente.

Resposta

0{,}5\\ \text{m/s}

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