Qual a energia cinética de rotação de uma esfera sólida \left(I=\frac{2}{5} M R^{2}\right) de 5,0 \mathrm{~kg} e raio 0,1 \mathrm{~m} que gira a 10 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado pede a energia cinética de rotação de uma esfera sólida. Dados fornecidos:
  • massa: M=5,0\\ \mathrm{kg}
  • raio: R=0,1\\ \mathrm{m}
  • velocidade angular: \omega=10\\ \mathrm{rad/s}
    O que se quer: calcular a energia cinética de rotação K_{\text{rot}}.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar: a energia cinética de rotação de um corpo rígido em torno de um eixo é
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},
onde:
  • K_{\text{rot}} é a energia cinética rotacional (em joules, \mathrm{J}),
  • I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (em \mathrm{kg\cdot m^{2}}),
  • \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}).
    Essa fórmula é análoga à energia cinética translacional \tfrac{1}{2}mv^{2}, só que a massa m é substituída pelo momento de inércia I e a velocidade v pela velocidade angular \omega.

Passo 3

Momento de inércia da esfera sólida (dado no enunciado):
I=\tfrac{2}{5}MR^{2}.
Aqui M e R são a massa e o raio da esfera, respectivamente. Esse fator \tfrac{2}{5} é obtido integrando a contribuição de cada pequeno elemento de massa da esfera; para a prova basta recordar ou reconhecer a fórmula fornecida.

Passo 4

Calcular I substituindo os valores numéricos:
I=\tfrac{2}{5}\cdot 5,0\\ \mathrm{kg}\cdot(0,1\\ \mathrm{m})^{2}.
Calcule passo a passo:
(0,1\\ \mathrm{m})^{2}=0,01\\ \mathrm{m^{2}},
5,0\\ \mathrm{kg}\times 0,01\\ \mathrm{m^{2}}=0,05\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}},
\tfrac{2}{5}\times 0,05\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}=0,4\times 0,05\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}=0,02\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Logo,
I=0,02\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 5

Agora aplicar a fórmula da energia rotacional:
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 0,02\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}\cdot(10\\ \mathrm{rad/s})^{2}.
Calcule passo a passo:
(10\\ \mathrm{rad/s})^{2}=100\\ \mathrm{rad^{2}/s^{2}},
\tfrac{1}{2}\cdot 0,02=0,01,
0,01\times 100=1,0.
Unidades: \mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot rad^{2}/s^{2}}. Como o radiano é adimensional, a unidade reduz para \mathrm{kg\cdot m^{2}/s^{2}}=\mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: o valor numérico final é
K_{\text{rot}}=1,0\\ \mathrm{J}.
Isso significa que a esfera tem 1,0\\ \mathrm{J} de energia associada à sua rotação com \omega=10\\ \mathrm{rad/s}. Você pode checar as contas mentalmente: momento de inércia pequeno ( 0,02), \omega^{2}=100, e o fator \tfrac{1}{2} reduz para 1{,}0.

Resposta

1,0\\ \mathrm{J}

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