Calcule o momento de inércia de um sistema de duas partículas de 2,0 \mathrm{~kg} cada, ligadas por uma haste rígida de massa desprezível com 1,0 \mathrm{~m} de comprimento, em relação a um eixo que passa pelo centro da haste.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um sistema formado por duas partículas (cada uma com massa 2,0\\ \mathrm{kg}) ligadas por uma haste rígida de massa desprezível e comprimento 1,0\\ \mathrm{m}, em relação a um eixo que passa pelo centro da haste.
Informações dadas:
  • massas: m_1 = m_2 = 2,0\\ \mathrm{kg} (peguei do enunciado);
  • comprimento da haste: L = 1,0\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado);
  • eixo: passa pelo centro da haste (logo cada massa está à mesma distância do eixo);
  • massa da haste desprezível (portanto só as partículas contribuem para o momento).

Passo 2

Ideia de solução (método que normalmente cai na prova): modelar cada partícula como massa pontual e somar os momentos de inércia individuais. Para uma massa pontual a uma distância r do eixo vale a fórmula básica
I_{\text{ponto}} = m\,r^{2},
onde m é a massa da partícula e r é a distância perpendicular do eixo até a partícula. Para várias partículas:
I_{\text{sistema}}=\sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}.
Explicando: o momento de inércia mede a “dificuldade” de colocar o objeto em rotação; quanto maior a massa e quanto mais longe do eixo, maior o termo m r^{2}.

Passo 3

Calcular a distância de cada massa ao eixo. Como o eixo passa pelo centro da haste e o comprimento total é L, cada massa fica a
r=\frac{L}{2}=\frac{1,0\\ \mathrm{m}}{2}=0,5\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o momento de inércia de uma das partículas usando I=m r^{2}. Substituindo m=2,0\\ \mathrm{kg} e r=0,5\\ \mathrm{m}:
I_{1}=2,0\cdot(0,5)^{2}=2,0\cdot0,25=0,50\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Como as duas partículas são idênticas e estão à mesma distância, I_{2}=I_{1}=0,50\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 5

Somar as contribuições das duas partículas:
I = I_{1}+I_{2}=0,50+0,50=1,00\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 6

Cheque rápido (fórmula compacta): usando I=2m\big(\tfrac{L}{2}\big)^{2} obtemos
I=2\cdot 2,0\cdot\left(\frac{1,0}{2}\right)^{2}=\frac{2,0\cdot(1,0)^{2}}{2}=1,00\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}},
mesma resposta — bom sinal.

Passo 7

Interpretação curta e dica de prova: o resultado mostra que cada massa contribuiu com 0,50\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}. Em provas, identifique sempre se as massas podem ser tratadas como pontuais e calcule r com cuidado (a maior fonte de erro aqui é confundir L com L/2). Você já fez o essencial — boa!

Resposta

1,0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}

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