Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos da faces é 32 ângulos retos?
Passo 1
O enunciado dá um poliedro convexo com as seguintes informações:
- O número de arestas é
. - Todas as faces são ou quadrângulos ou pentágonos.
- A soma dos ângulos de todas as faces é
ângulos retos (ou seja, vezes ).
A pergunta do enunciado é: quantas faces há de cada tipo (quantas quadrangulares e quantas pentagonais)?
Passo 2
Vamos introduzir variáveis para contar as faces:
- Seja
o número de faces quadrangulares. - Seja
o número de faces pentagonais.
A soma total de faces é, mas ainda não sabemos e .
Agora uma revisão rápida sobre soma de ângulos internos de um polígono: para um polígono com
lados, a soma dos ângulos internos em graus é
. Como um ângulo reto vale
, em unidades de ângulos retos essa soma é
ângulos retos. Aplicando isso:
- Para um quadrilátero (
) a soma é ângulos retos por face quadrangular. - Para um pentágono (
) a soma é ângulos retos por face pentagonal.
Passo 3
Usando a informação da soma total dos ângulos das faces (
ângulos retos), somamos a contribuição de cada face:
Essa é a equação que vem da condição sobre os ângulos.
Passo 4
Agora usamos a relação entre faces e arestas. Cada face quadrangular tem
arestas, cada pentagonal tem
, mas cada aresta pertence a duas faces, então contando arestas por face obtemos o dobro do total de arestas:
Como
(dado), temos
Passo 5
Temos o sistema de duas equações lineares:
Subtraindo a segunda da primeira (isso elimina
):
Substituindo
em
:
Passo 6
Cheque rápido de consistência (opcional, mas bom para garantir que não deu algo estranho): o total de faces é
. Pela fórmula de Euler para poliedros convexos,
onde
. Assim
leva a
. Números inteiros e positivos, tudo consistente.
Resposta
Faces quadrangulares:
Faces pentagonais:
Faces pentagonais: