Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos da faces é 32 ângulos retos?

Passo 1

O enunciado dá um poliedro convexo com as seguintes informações:
  • O número de arestas é \,15.
  • Todas as faces são ou quadrângulos ou pentágonos.
  • A soma dos ângulos de todas as faces é \,32 ângulos retos (ou seja, 32 vezes 90^\circ).
    A pergunta do enunciado é: quantas faces há de cada tipo (quantas quadrangulares e quantas pentagonais)?

Passo 2

Vamos introduzir variáveis para contar as faces:
  • Seja \,q o número de faces quadrangulares.
  • Seja \,p o número de faces pentagonais.
    A soma total de faces é \,F=q+p, mas ainda não sabemos \,q e \,p.
Agora uma revisão rápida sobre soma de ângulos internos de um polígono: para um polígono com \,n lados, a soma dos ângulos internos em graus é (n-2)\cdot 180^\circ. Como um ângulo reto vale 90^\circ, em unidades de ângulos retos essa soma é 2(n-2) ângulos retos. Aplicando isso:
  • Para um quadrilátero ( n=4) a soma é 2(4-2)=4 ângulos retos por face quadrangular.
  • Para um pentágono ( n=5) a soma é 2(5-2)=6 ângulos retos por face pentagonal.

Passo 3

Usando a informação da soma total dos ângulos das faces ( 32 ângulos retos), somamos a contribuição de cada face:
4q + 6p = 32.
Essa é a equação que vem da condição sobre os ângulos.

Passo 4

Agora usamos a relação entre faces e arestas. Cada face quadrangular tem 4 arestas, cada pentagonal tem 5, mas cada aresta pertence a duas faces, então contando arestas por face obtemos o dobro do total de arestas:
4q + 5p = 2E.
Como \,E=15 (dado), temos
4q + 5p = 30.

Passo 5

Temos o sistema de duas equações lineares:
\begin{cases} 4q + 6p = 32,\\[4pt] 4q + 5p = 30. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira (isso elimina 4q):
(4q+6p)-(4q+5p)=32-30 \implies p = 2.
Substituindo \,p=2 em \,4q+5p=30:
4q + 5\cdot 2 = 30 \implies 4q + 10 = 30 \implies 4q = 20 \implies q = 5.]

Passo 6

Cheque rápido de consistência (opcional, mas bom para garantir que não deu algo estranho): o total de faces é F=q+p=5+2=7. Pela fórmula de Euler para poliedros convexos,
V - E + F = 2,
onde \,E=15. Assim \,V - 15 + 7 = 2 leva a \,V=10. Números inteiros e positivos, tudo consistente.

Resposta

Faces quadrangulares: 5
Faces pentagonais: 2

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