Um poliedro convexo apresenta faces tirangulares e quadrangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número de faces do poliedro convexo.
Informações dadas:
  • O poliedro tem faces triangulares e quadrangulares.
  • O número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. Isto é, se T é o número de faces triangulares e E o número de arestas, então E = 4T.
  • O número de faces quadrangulares é igual a 5. Se Q representa o número de faces quadrangulares, então Q = 5.
    O que se quer: o número total de faces F do poliedro.

Passo 2

Vamos definir variáveis e lembrar uma contagem importante (aqui explico bem devagar para você decorar):
  • Seja T o número de faces triangulares. Cada face triangular tem 3 arestas.
  • Seja Q o número de faces quadrangulares. Cada face quadrangular tem 4 arestas.
  • Seja F o número total de faces, então F = T + Q.
Agora uma ideia-chave: se somarmos o número de lados de todas as faces (ou seja, 3 vezes o número de triângulos mais 4 vezes o número de quadriláteros), teremos contado cada aresta exatamente duas vezes — porque cada aresta está entre duas faces. Por isso vale a relação
3T + 4Q = 2E.
Expliquei isso: contar “lados das faces” dupla-conta arestas, então soma = 2E.

Passo 3

Vamos escrever as relações que já sabemos em forma matemática, usando as informações do enunciado:
  • Relação dada: E = 4T.
  • Valor dado: Q = 5.
  • Relação de dupla contagem das arestas (da etapa anterior): 3T + 4Q = 2E.

Passo 4

Substituímos \!E = 4T\! e \!Q = 5\! na relação \!3T + 4Q = 2E\!. Primeiro escrever a equação com Q explícito:
3T + 4\cdot Q = 2E.
Agora substituo Q=5 e E=4T:
3T + 4\cdot 5 = 2\cdot(4T).

Passo 5

Faço a álgebra passo a passo (sem pular etapas):
Calculo os produtos:
3T + 20 = 8T.
Isolo T movendo 3T para o lado direito:
20 = 8T - 3T.
Então
20 = 5T.
Divido ambos os lados por 5:
T = \frac{20}{5} = 4.
Portanto o número de faces triangulares é \,T=4.

Passo 6

Agora encontramos o número total de faces F usando \!F=T+Q\!. Substituo os valores:
F = T + Q = 4 + 5 = 9.
Logo o poliedro tem \,9 faces no total.

Passo 7

Como verificação rápida (útil na prova para checar erros): podemos calcular o número de vértices V usando a fórmula de Euler para poliedros convexos,
V - E + F = 2.
Sabemos E=4T=4\cdot 4=16 e F=9. Então
V = 2 + E - F = 2 + 16 - 9 = 9.
Portanto V=9. Tudo consistente: V=9, E=16, F=9 satisfazem Euler e as relações dadas.

Resposta

9

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