Um poliedro convexo apresenta faces tirangulares e quadrangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular o número de faces do poliedro convexo.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O poliedro tem faces triangulares e quadrangulares.
- O número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. Isto é, se
é o número de faces triangulares e o número de arestas, então . - O número de faces quadrangulares é igual a
. Se representa o número de faces quadrangulares, então .
O que se quer: o número total de facesdo poliedro.
Passo 2
Vamos definir variáveis e lembrar uma contagem importante (aqui explico bem devagar para você decorar):
- Seja
o número de faces triangulares. Cada face triangular tem arestas. - Seja
o número de faces quadrangulares. Cada face quadrangular tem arestas. - Seja
o número total de faces, então
Agora uma ideia-chave: se somarmos o número de lados de todas as faces (ou seja,
vezes o número de triângulos mais
vezes o número de quadriláteros), teremos contado cada aresta exatamente duas vezes — porque cada aresta está entre duas faces. Por isso vale a relação
Expliquei isso: contar “lados das faces” dupla-conta arestas, então soma =
.
Passo 3
Vamos escrever as relações que já sabemos em forma matemática, usando as informações do enunciado:
- Relação dada:
- Valor dado:
- Relação de dupla contagem das arestas (da etapa anterior):
Passo 4
Substituímos
e
na relação
. Primeiro escrever a equação com
explícito:
Agora substituo
e
:
Passo 5
Faço a álgebra passo a passo (sem pular etapas):
Calculo os produtos:
Calculo os produtos:
Isolo
movendo
para o lado direito:
Então
Divido ambos os lados por
:
Portanto o número de faces triangulares é
.
Passo 6
Agora encontramos o número total de faces
usando
. Substituo os valores:
Logo o poliedro tem
faces no total.
Passo 7
Como verificação rápida (útil na prova para checar erros): podemos calcular o número de vértices
usando a fórmula de Euler para poliedros convexos,
Sabemos
e
. Então
Portanto
. Tudo consistente:
,
,
satisfazem Euler e as relações dadas.