Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 hexagonais.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem as seguintes faces:
-
faces triangulares, -
face quadrangular, -
face pentagonal, -
faces hexagonais.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Quantidades de cada tipo de face (acima).
- O poliedro é convexo (isso garante que a fórmula de Euler vale: não precisamos nos preocupar com casos degenerados).
A pergunta a responder é: qual é o número de vérticesdesse poliedro?
Passo 2
Ferramentas essenciais (explicadas como se estivéssemos juntos estudando para a prova):
- Fórmula de Euler para poliedros convexos:
onde
é o número de vértices,
é o número de arestas e
é o número de faces. Vou explicar: essa fórmula relaciona os três contadores básicos de um poliedro convexo — é uma identidade topológica muito usada em questões rápidas de contagem.
- Relação entre faces e arestas (uma “mão na massa” básica): se somarmos o número de lados de todas as faces, cada aresta será contada exatamente duas vezes (porque cada aresta separa duas faces). Portanto:
Vou usar essa relação para achar
a partir das faces que o enunciado deu.
Passo 3
Calcular o número total de faces
. Somamos as quantidades dadas:
Portanto
.
Passo 4
Calcular a soma dos lados de todas as faces (pegando os dados do enunciado).
- As
faces triangulares contribuem com lados; - A
face quadrangular contribui com lados; - A
face pentagonal contribui com lados; - As
faces hexagonais contribuem com lados.
Somando tudo:
Passo 5
Usar a relação
. Temos
, então
Logo
.
Passo 6
Aplicar a fórmula de Euler
. Substituindo
e
:
Agora resolvemos para
:
Portanto
.
Passo 7
Checagem rápida (apenas para ficar mais seguro e ganhar confiança): a soma dos graus dos vértices (número total de extremidades de arestas nos vértices) também vale
. Com
, a média de grau por vértice seria
, ou seja, em média cada vértice tem grau
. Isso é perfeitamente plausível (por exemplo, muitos vértices podem ser encontro de três arestas), então o resultado é consistente.