Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 hexagonais.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem as seguintes faces:
  • 3 faces triangulares,
  • 1 face quadrangular,
  • 1 face pentagonal,
  • 2 faces hexagonais.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Quantidades de cada tipo de face (acima).
  • O poliedro é convexo (isso garante que a fórmula de Euler vale: não precisamos nos preocupar com casos degenerados).
    A pergunta a responder é: qual é o número de vértices V desse poliedro?

Passo 2

Ferramentas essenciais (explicadas como se estivéssemos juntos estudando para a prova):
  • Fórmula de Euler para poliedros convexos:
V - E + F = 2,
onde V é o número de vértices, E é o número de arestas e F é o número de faces. Vou explicar: essa fórmula relaciona os três contadores básicos de um poliedro convexo — é uma identidade topológica muito usada em questões rápidas de contagem.
  • Relação entre faces e arestas (uma “mão na massa” básica): se somarmos o número de lados de todas as faces, cada aresta será contada exatamente duas vezes (porque cada aresta separa duas faces). Portanto:
\sum_{\text{faces}} (\text{número de lados da face}) = 2E.ú
Vou usar essa relação para achar E a partir das faces que o enunciado deu.

Passo 3

Calcular o número total de faces F. Somamos as quantidades dadas:
F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7.
Portanto F = 7.

Passo 4

Calcular a soma dos lados de todas as faces (pegando os dados do enunciado).
  • As 3 faces triangulares contribuem com 3\cdot 3 lados;
  • A 1 face quadrangular contribui com 1\cdot 4 lados;
  • A 1 face pentagonal contribui com 1\cdot 5 lados;
  • As 2 faces hexagonais contribuem com 2\cdot 6 lados.
Somando tudo:
\text{Soma dos lados} = 3\cdot 3 + 1\cdot 4 + 1\cdot 5 + 2\cdot 6 = 9 + 4 + 5 + 12 = 30.

Passo 5

Usar a relação \sum (\text{lados}) = 2E. Temos \sum (\text{lados}) = 30, então
2E = 30 \quad\Rightarrow\quad E = \frac{30}{2} = 15.
Logo E = 15.

Passo 6

Aplicar a fórmula de Euler \;V - E + F = 2. Substituindo E = 15 e F = 7:
V - 15 + 7 = 2.
Agora resolvemos para V:
V = 2 -7 +15 = 10.
Portanto V = 10.

Passo 7

Checagem rápida (apenas para ficar mais seguro e ganhar confiança): a soma dos graus dos vértices (número total de extremidades de arestas nos vértices) também vale 2E = 30. Com V=10, a média de grau por vértice seria 30/10 = 3, ou seja, em média cada vértice tem grau 3. Isso é perfeitamente plausível (por exemplo, muitos vértices podem ser encontro de três arestas), então o resultado é consistente.

Resposta

10

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