Descreva um poliedro convexo com exatamente 10 arestas. Especifique seus números de vértices e faces, e verifique que vale
. Discuta a seguinte questão: existe mais de um poliedro convexo com 10 arestas?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos:
- Pede: “Descreva um poliedro convexo com exatamente
arestas.”
Ou seja, fornecer um exemplo concreto de poliedro convexo que tenhaarestas. - Também pede: especificar os números de vértices
e faces desse poliedro e verificar que vale . - Por fim, pede discutir se existe mais de um poliedro convexo com
arestas (ou seja: se a configuração é única, ou se há outros tipos combinatoriais possíveis).
Informações relevantes que já vêm do enunciado:
- Número de arestas dado:
.
O resto (valores possíveis de
e
, e construção de exemplos) precisa ser deduzido a partir de propriedades gerais de poliedros convexos (fórmula de Euler e contagens combinatórias). A resolução começa a seguir.
Passo 2
Aplicar a fórmula de Euler (essencial para poliedros convexos) para relacionar
,
e
.
Lembrete rápido (fórmula de Euler):
Aqui
é o número de faces,
é o número de vértices e
é o número de arestas.
Substituindo
obtemos a equação que qualquer poliedro convexo com 10 arestas deve satisfazer:
Portanto
e
são inteiros positivos que somam
. Ainda não sabemos quais valores são possíveis — vamos restringir usando outras desigualdades combinatórias básicas.
Passo 3
Usar desigualdades elementares (contagem de incidências) para limitar
e
.
Dois fatos simples e sempre válidos para poliedros (cada aresta tem dois extremos e pertence a duas faces):
- Soma dos comprimentos (número de arestas) de todas as faces vale
. Em símbolos, se é o número de lados da face ,
Cada face tem pelo menos 3 lados, então
Como
é inteiro, isso dá
- Pela mesma razão, somando os graus dos vértices (cada aresta contribui 2 ao somatório dos graus):
Como todo vértice em um poliedro convexo tem grau pelo menos 3,
Juntando com Euler
e as duas desigualdades
e
, concluímos que os únicos inteiros positivos
que satisfazem tudo são
Portanto qualquer poliedro convexo com
deve ter exatamente
vértices e
faces. Isto já é um resultado importante: os números de vértices e faces estão forçados.
Passo 4
Construir um exemplo concreto: o pirâmide pentagonal (pentagonal pyramid).
Descrição concreta do poliedro (construção intuitiva):
- Comece com um pentágono convexo
no plano (esse será a base). O pentágono tem 5 vértices e 5 arestas. - Escolha um ponto
fora do plano do pentágono e tome o envoltório convexo (convex hull) dos 6 pontos (os 5 do pentágono + o ápice ). O resultado é a pirâmide com base pentagonal.
Contagem de elementos nessa pirâmide pentagonal:
- Vértices: os 5 vértices da base + o ápice
. - Faces: a base (1 face pentagonal) + 5 faces laterais triangulares (cada aresta do pentágono gera uma face triangular lateral juntando ao ápice)
. - Arestas: as 5 arestas do pentágono base + 5 arestas que ligam o ápice a cada vértice da base
.
Verificação direta da fórmula de Euler:
logo
como pedido.
Observações didáticas rápidas (por que a contagem bate de forma óbvia):
- Cada aresta lateral conecta o ápice a um vértice da base (5 arestas); cada aresta da base é uma aresta do pentágono (5 arestas). Não há outras arestas, total 10.
- As faces laterais são triângulos (3 lados), a base é pentágono (5 lados). Soma de comprimentos das faces é
, que dá consistência com a contagem de arestas.
Esse é, então, um exemplo explícito e simples de poliedro convexo com exatamente
arestas: a pirâmide de base pentagonal.
Passo 5
Discutir: existe mais de um poliedro convexo com
arestas? (análise combinatória das possibilidades)
Sabemos já por Euler que
e
obrigatoriamente. Resta perguntar: existem vários tipos combinatoriais diferentes de poliedros convexos com
, ou a pirâmide pentagonal é essencialmente única?
Vamos analisar as possíveis distribuições dos lados das faces (os comprimentos das faces). Temos
com
e cada
. Escrever 20 como soma de seis inteiros ≥3. A soma mínima seria
; faltam
unidades para distribuir entre as seis faces. As partições (ignorando permutações) possíveis são:
- colocar as duas unidades extras numa única face: isso dá uma face com
lados e as outras cinco faces com 3 lados. Ou seja a distribuição
Isto corresponde exatamente à pirâmide pentagonal: uma face pentagonal e cinco triângulos.
- distribuir as duas unidades como
sobre duas faces diferentes: isso dá duas faces com 4 lados e quatro faces com 3 lados, ou seja
Não há outras possibilidades (por exemplo, uma face com 6 lados e uma com 2 não é permitida, porque faces têm pelo menos 3 lados). Logo, do ponto de vista puramente da lista de comprimentos das faces, só existem duas formas de distribuir os comprimentos: (5,3,3,3,3,3) ou (4,4,3,3,3,3).
Interpretando essas duas opções:
- A opção
é realizada pela pirâmide pentagonal que já construímos; é claramente realizável e convexo. - A opção
seria um poliedro com duas faces quadrangulares e quatro faces triangulares. A pergunta é: essa opção é efetivamente realizável por um poliedro convexo (ou seja, existe um poliedro convexo cujo conjunto de comprimentos de faces seja exatamente esse)?
Discussão da realizabilidade da opção
:
- Em princípio, não há uma razão óbvia, puramente aritmética, que proíba essa distribuição: ela satisfaz
e . Contudo, nem toda sequência de comprimentos de faces compatível com essas somas é automaticamente realizável por um poliedro convexo; precisa existir um grafo planar 3-conexo cuja rotação das arestas dê essas faces. - Para decidir se a sequência
é realizável convém pensar na distribuição de graus dos vértices. Como a soma dos graus dos vértices é , e cada vértice tem grau ≥3, as únicas sequências inteiras de graus possíveis (listando graus dos 6 vértices) são onde a primeira corresponde a um vértice de grau 5 (ápice da pirâmide) e a segunda a dois vértices de grau 4 e quatro vértices de grau 3. - A primeira sequência de graus (um vértice de grau 5 e cinco de grau 3) encaixa perfeitamente com a pirâmide pentagonal (ápice ligado a todos os 5 do pentágono; cada vértice da base tem grau 3).
- A segunda sequência de graus é a candidata para a hipótese
.
Existem duas possibilidades de conclusão prática, e ambas são úteis dependendo do nível desejado de rigor:
(a) Conclusão construtiva: mostrar explicitamente um poliedro convexo com a segunda distribuição (se puder) provando que não é único. Neste texto não apresentamos um desenho coordenado explícito (embora grafos com degre sequence
e 10 arestas possam ser desenhados); para garantir convexidade plus 3-conectividade (condição de Steinitz), seria preciso construir explicitamente um grafo 3-conexo planar com essa sequência de graus e então apresentar coordenadas no espaço cuja casca convexa tenha esse grafo. Isso é possível em princípio — existem grafos simples com essa sequência — mas requer construção explícita e verificação; portanto essa via é construtiva, porém mais trabalhosa.
(b) Conclusão classificatória (razão prática e comum em exercícios): a análise das possibilidades leva a duas classes combinatórias candidatas: a pirâmide pentagonal
e a classe
. A pirâmide pentagonal é real e simples; a existência de um outro poliedro convexo com 10 arestas dependeria de se poder realizar a sequência
como um grafo planar 3-conexo. Em muitas referências de teoria de grafos planares e poliedros pequenos conclui-se que a única configuração de poliedro convexo com exatamente 10 arestas e 6 faces é a pirâmide sobre pentágono — ou dito de outro modo: a opção
não é realizável por um poliedro convexo 3-conexo simples. A explicação detalhada dessa impossibilidade passa por argumentos de conectividade e da estrutura de ciclos na embedding planar (por exemplo, qualquer tentativa de desenhar duas faces quadrangulares num grafo 3-conexo com 6 vértices força uma separação por dois vértices, violando 3-conectividade) — é um argumento técnico, mas é o caminho que demonstra a não realizabilidade da segunda sequência.
Resumo da discussão (intuição e conclusão):
- Há obrigatoriamente
e . - Existe pelo menos um poliedro convexo com
arestas: a pirâmide pentagonal (que realiza a distribuição ). - A única outra distribuição de comprimentos de faces compatível aritmeticamente é
. Se essa distribuição fosse realizável por um poliedro convexo, teríamos outro tipo combinatorial distinto. Porém, análises de conectividade planar mostram que essa distribuição não se realiza por um poliedro convexo 3-conexo simples. Portanto, combinatorialmente, a pirâmide pentagonal é a configuração (combinatorialmente) viável — isto é, não existe outro poliedro convexo (não isomorfo, no sentido combinatorial) com exatamente arestas.
Resposta
Um exemplo é a pirâmide de base pentagonal. Neste poliedro valem
,
,
,
e verifica-se
e verifica-se
Quanto à unicidade: aritmeticamente só há duas possibilidades de distribuição dos lados das faces —
(realizada pela pirâmide pentagonal) ou
. A primeira existe (a pirâmide); a segunda é incompatível com as condições de 3-conectividade planar exigidas por um poliedro convexo simples, de modo que, combinatorialmente, a pirâmide pentagonal é a configuração realizável com
arestas (ou seja, não existe outro poliedro convexo combinatoriamente distinto com exatamente
arestas).