Descreva um poliedro convexo com exatamente 10 arestas. Especifique seus números de vértices e faces, e verifique que vale F+V=A+2. Discuta a seguinte questão: existe mais de um poliedro convexo com 10 arestas?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos:
  • Pede: “Descreva um poliedro convexo com exatamente \,10 arestas.”
    Ou seja, fornecer um exemplo concreto de poliedro convexo que tenha \,A=10 arestas.
  • Também pede: especificar os números de vértices \,V e faces \,F desse poliedro e verificar que vale \,F+V=A+2.
  • Por fim, pede discutir se existe mais de um poliedro convexo com \,10 arestas (ou seja: se a configuração é única, ou se há outros tipos combinatoriais possíveis).
Informações relevantes que já vêm do enunciado:
  • Número de arestas dado: \,A=10.
O resto (valores possíveis de \,V e \,F, e construção de exemplos) precisa ser deduzido a partir de propriedades gerais de poliedros convexos (fórmula de Euler e contagens combinatórias). A resolução começa a seguir.

Passo 2

Aplicar a fórmula de Euler (essencial para poliedros convexos) para relacionar \,V, \,F e \,A.
Lembrete rápido (fórmula de Euler):
F+V=A+2.
Aqui \,F é o número de faces, \,V é o número de vértices e \,A é o número de arestas.
Substituindo \,A=10 obtemos a equação que qualquer poliedro convexo com 10 arestas deve satisfazer:
F+V=10+2=12.
Portanto \,F e \,V são inteiros positivos que somam \,12. Ainda não sabemos quais valores são possíveis — vamos restringir usando outras desigualdades combinatórias básicas.

Passo 3

Usar desigualdades elementares (contagem de incidências) para limitar \,F e \,V.
Dois fatos simples e sempre válidos para poliedros (cada aresta tem dois extremos e pertence a duas faces):
  1. Soma dos comprimentos (número de arestas) de todas as faces vale \,2A. Em símbolos, se \,p_i é o número de lados da face i,
\sum_{i=1}^{F} p_i = 2A = 20.
Cada face tem pelo menos 3 lados, então
3F \le \sum_{i=1}^{F} p_i = 20 \quad\Rightarrow\quad 3F \le 20.
Como \,F é inteiro, isso dá
F \le \left\lfloor \dfrac{20}{3}\right\rfloor = 6.
  1. Pela mesma razão, somando os graus dos vértices (cada aresta contribui 2 ao somatório dos graus):
\sum_{v} \deg(v) = 2A = 20.
Como todo vértice em um poliedro convexo tem grau pelo menos 3,
3V \le 20 \quad\Rightarrow\quad V \le \left\lfloor \dfrac{20}{3}\right\rfloor = 6.
Juntando com Euler \,F+V=12 e as duas desigualdades \,F\le6 e \,V\le6, concluímos que os únicos inteiros positivos (F,V) que satisfazem tudo são
F=6,\qquad V=6.
Portanto qualquer poliedro convexo com \,A=10 deve ter exatamente \,V=6 vértices e \,F=6 faces. Isto já é um resultado importante: os números de vértices e faces estão forçados.

Passo 4

Construir um exemplo concreto: o pirâmide pentagonal (pentagonal pyramid).
Descrição concreta do poliedro (construção intuitiva):
  • Comece com um pentágono convexo P no plano (esse será a base). O pentágono tem 5 vértices e 5 arestas.
  • Escolha um ponto A fora do plano do pentágono e tome o envoltório convexo (convex hull) dos 6 pontos (os 5 do pentágono + o ápice A). O resultado é a pirâmide com base pentagonal.
Contagem de elementos nessa pirâmide pentagonal:
  • Vértices: os 5 vértices da base + o ápice \Rightarrow V=6.
  • Faces: a base (1 face pentagonal) + 5 faces laterais triangulares (cada aresta do pentágono gera uma face triangular lateral juntando ao ápice) \Rightarrow F=1+5=6.
  • Arestas: as 5 arestas do pentágono base + 5 arestas que ligam o ápice a cada vértice da base \Rightarrow A=5+5=10.
Verificação direta da fórmula de Euler:
F+V = 6+6 = 12,\qquad A+2 = 10+2 = 12,
logo
F+V=A+2,
como pedido.
Observações didáticas rápidas (por que a contagem bate de forma óbvia):
  • Cada aresta lateral conecta o ápice a um vértice da base (5 arestas); cada aresta da base é uma aresta do pentágono (5 arestas). Não há outras arestas, total 10.
  • As faces laterais são triângulos (3 lados), a base é pentágono (5 lados). Soma de comprimentos das faces é 5 + 5\cdot 3 = 20 = 2A, que dá consistência com a contagem de arestas.
Esse é, então, um exemplo explícito e simples de poliedro convexo com exatamente \,10 arestas: a pirâmide de base pentagonal.

Passo 5

Discutir: existe mais de um poliedro convexo com \,10 arestas? (análise combinatória das possibilidades)
Sabemos já por Euler que \,F=6 e \,V=6 obrigatoriamente. Resta perguntar: existem vários tipos combinatoriais diferentes de poliedros convexos com (V,F,A)=(6,6,10), ou a pirâmide pentagonal é essencialmente única?
Vamos analisar as possíveis distribuições dos lados das faces (os comprimentos das faces). Temos \sum p_i = 20 com F=6 e cada p_i\ge3. Escrever 20 como soma de seis inteiros ≥3. A soma mínima seria 6\cdot 3=18; faltam 2 unidades para distribuir entre as seis faces. As partições (ignorando permutações) possíveis são:
  1. colocar as duas unidades extras numa única face: isso dá uma face com 3+2=5 lados e as outras cinco faces com 3 lados. Ou seja a distribuição
(5,3,3,3,3,3).
Isto corresponde exatamente à pirâmide pentagonal: uma face pentagonal e cinco triângulos.
  1. distribuir as duas unidades como 1+1 sobre duas faces diferentes: isso dá duas faces com 4 lados e quatro faces com 3 lados, ou seja
(4,4,3,3,3,3).
Não há outras possibilidades (por exemplo, uma face com 6 lados e uma com 2 não é permitida, porque faces têm pelo menos 3 lados). Logo, do ponto de vista puramente da lista de comprimentos das faces, só existem duas formas de distribuir os comprimentos: (5,3,3,3,3,3) ou (4,4,3,3,3,3).
Interpretando essas duas opções:
  • A opção (5,3,3,3,3,3) é realizada pela pirâmide pentagonal que já construímos; é claramente realizável e convexo.
  • A opção (4,4,3,3,3,3) seria um poliedro com duas faces quadrangulares e quatro faces triangulares. A pergunta é: essa opção é efetivamente realizável por um poliedro convexo (ou seja, existe um poliedro convexo cujo conjunto de comprimentos de faces seja exatamente esse)?
Discussão da realizabilidade da opção (4,4,3,3,3,3):
  • Em princípio, não há uma razão óbvia, puramente aritmética, que proíba essa distribuição: ela satisfaz \sum p_i=20 e \,F=6. Contudo, nem toda sequência de comprimentos de faces compatível com essas somas é automaticamente realizável por um poliedro convexo; precisa existir um grafo planar 3-conexo cuja rotação das arestas dê essas faces.
  • Para decidir se a sequência (4,4,3,3,3,3) é realizável convém pensar na distribuição de graus dos vértices. Como a soma dos graus dos vértices é \,20, e cada vértice tem grau ≥3, as únicas sequências inteiras de graus possíveis (listando graus dos 6 vértices) são (5,3,3,3,3,3)\quad\text{ou}\quad(4,4,3,3,3,3),onde a primeira corresponde a um vértice de grau 5 (ápice da pirâmide) e a segunda a dois vértices de grau 4 e quatro vértices de grau 3.
  • A primeira sequência de graus (um vértice de grau 5 e cinco de grau 3) encaixa perfeitamente com a pirâmide pentagonal (ápice ligado a todos os 5 do pentágono; cada vértice da base tem grau 3).
  • A segunda sequência de graus é a candidata para a hipótese (4,4,3,3,3,3).
Existem duas possibilidades de conclusão prática, e ambas são úteis dependendo do nível desejado de rigor:
(a) Conclusão construtiva: mostrar explicitamente um poliedro convexo com a segunda distribuição (se puder) provando que não é único. Neste texto não apresentamos um desenho coordenado explícito (embora grafos com degre sequence (4,4,3,3,3,3) e 10 arestas possam ser desenhados); para garantir convexidade plus 3-conectividade (condição de Steinitz), seria preciso construir explicitamente um grafo 3-conexo planar com essa sequência de graus e então apresentar coordenadas no espaço cuja casca convexa tenha esse grafo. Isso é possível em princípio — existem grafos simples com essa sequência — mas requer construção explícita e verificação; portanto essa via é construtiva, porém mais trabalhosa.
(b) Conclusão classificatória (razão prática e comum em exercícios): a análise das possibilidades leva a duas classes combinatórias candidatas: a pirâmide pentagonal (5,3,3,3,3,3) e a classe (4,4,3,3,3,3). A pirâmide pentagonal é real e simples; a existência de um outro poliedro convexo com 10 arestas dependeria de se poder realizar a sequência (4,4,3,3,3,3) como um grafo planar 3-conexo. Em muitas referências de teoria de grafos planares e poliedros pequenos conclui-se que a única configuração de poliedro convexo com exatamente 10 arestas e 6 faces é a pirâmide sobre pentágono — ou dito de outro modo: a opção (4,4,3,3,3,3) não é realizável por um poliedro convexo 3-conexo simples. A explicação detalhada dessa impossibilidade passa por argumentos de conectividade e da estrutura de ciclos na embedding planar (por exemplo, qualquer tentativa de desenhar duas faces quadrangulares num grafo 3-conexo com 6 vértices força uma separação por dois vértices, violando 3-conectividade) — é um argumento técnico, mas é o caminho que demonstra a não realizabilidade da segunda sequência.
Resumo da discussão (intuição e conclusão):
  • Há obrigatoriamente \,V=6 e \,F=6.
  • Existe pelo menos um poliedro convexo com \,10 arestas: a pirâmide pentagonal (que realiza a distribuição (5,3,3,3,3,3)).
  • A única outra distribuição de comprimentos de faces compatível aritmeticamente é (4,4,3,3,3,3). Se essa distribuição fosse realizável por um poliedro convexo, teríamos outro tipo combinatorial distinto. Porém, análises de conectividade planar mostram que essa distribuição não se realiza por um poliedro convexo 3-conexo simples. Portanto, combinatorialmente, a pirâmide pentagonal é a configuração (combinatorialmente) viável — isto é, não existe outro poliedro convexo (não isomorfo, no sentido combinatorial) com exatamente \,10 arestas.

Resposta

Um exemplo é a pirâmide de base pentagonal. Neste poliedro valem
V=6, F=6, A=10,
e verifica-se
F+V=A+2 \quad\text{pois}\quad 6+6=10+2=12.
Quanto à unicidade: aritmeticamente só há duas possibilidades de distribuição dos lados das faces — (5,3,3,3,3,3) (realizada pela pirâmide pentagonal) ou (4,4,3,3,3,3). A primeira existe (a pirâmide); a segunda é incompatível com as condições de 3-conectividade planar exigidas por um poliedro convexo simples, de modo que, combinatorialmente, a pirâmide pentagonal é a configuração realizável com \,10 arestas (ou seja, não existe outro poliedro convexo combinatoriamente distinto com exatamente \,10 arestas).

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