Um poliedro convexo possui 12 faces e cumpre as seguintes condições:
- Todas as faces são triângulos isósceles;
- Todas as arestas possuem medida
ou (\\mathbf{y}\");
- De cada vértice partem 3 ou 6 arestas; e
- Todos os ângulos diedros entre faces adjacentes são iguais.
Encontre a razão
Encontre a razão
Passo 1
O enunciado descreve um poliedro convexo de 12 faces, todas triângulos isósceles, com arestas de dois comprimentos
e
, vértices de grau 3 ou 6, e todos os ângulos diedros iguais. Esse poliedro é precisamente o triakis-tetraedro, que é o dual do tetraedro truncado arquimediano. Nas faces isósceles do triakis-tetraedro, a “base” corresponde a uma aresta do tetraedro original (comprimento
) e os dois lados iguais são as arestas que ligam o ápice do pequeno “piramidinha” ao vértice do tetraedro (comprimento
).
Passo 2
Para cada face isósceles do triakis-tetraedro, a base vale exatamente a aresta do tetraedro regular inicial. Se essa aresta for
, o centro da face triangular original (tamanho
) fica a uma distância
de cada vértice. Sobre essa face colocamos uma pirâmide de altura
, gerando arestas de valor
Passo 3
Como o triakis-tetraedro é isoédrico (todos os ângulos diedros iguais), essa condição fixa o valor de
em função de
. De fato, igualamos o diedro ao longo de uma aresta base (duas faces que dividem uma aresta do tetraedro original) com o diedro ao longo de uma aresta lateral (duas faces que se encontram na “aresta do ápice”). A pesquisa clássica em sólidos catalães (dual dos arquímedes) mostra que, para o tetraedro truncado, esse corte ocorre de modo que
Passo 4
Substituindo
na expressão de
, obtemos
Passo 5
Portanto, a razão procurada é