Prove que, para todo \mathbf{n} inteiro positivo:
\left(\frac{2024^{\mathrm{n}+1}+2025^{\mathrm{n}+1}}{2}\right)^{\frac{1}{\mathrm{n}+1}}>\left(\frac{2024^{\mathrm{n}}+2025^{\mathrm{n}}}{2}\right)^{\frac{1}{\mathrm{n}}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo n, as médias potências de ordem n e n+1 dos números 2024 e 2025 satisfazem
\Bigl(\tfrac{2024^{n+1}+2025^{n+1}}{2}\Bigr)^{1/(n+1)} > \Bigl(\tfrac{2024^n+2025^n}{2}\Bigr)^{1/n}.
O conteúdo aqui é a desigualdade das médias potenciais (ou power mean): a função
\varphi(t)=\frac{1}{t}\,\ln\!\Bigl(\tfrac{a^t+b^t}{2}\Bigr)
é estritamente crescente em t>0 sempre que 0<a<b. Vamos provar que \varphi'(t)>0 e concluir que \varphi(n+1)>\varphi(n).

Passo 2

Defina a=2024, b=2025 e, para t>0,
\varphi(t) =\frac{1}{t}\,\ln\Bigl(\tfrac{a^t+b^t}{2}\Bigr).
Repare que
\varphi(n) =\ln\!\Bigl(\bigl(\tfrac{a^n+b^n}{2}\bigr)^{1/n}\Bigr), \quad \varphi(n+1) =\ln\!\Bigl(\bigl(\tfrac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2}\bigr)^{1/(n+1)}\Bigr).
Logo a desigualdade do enunciado equivale a
\varphi(n+1)>\varphi(n).

Passo 3

Vamos calcular \varphi'(t). Primeiro observe que, para A(t)=a^t+b^t,
\frac{d}{dt}\ln A(t) =\frac{a^t\ln a + b^t\ln b}{a^t+b^t}.
Pela regra do quociente,
\varphi'(t) =\frac{t\cdot \frac{a^t\ln a + b^t\ln b}{a^t+b^t} -\ln\!\bigl(\tfrac{a^t+b^t}{2}\bigr)}{t^2}.
Portanto, provar \varphi'(t)>0 é equivalente a mostrar
t\, \frac{a^t\ln a + b^t\ln b}{a^t+b^t} > \ln\!\Bigl(\tfrac{a^t+b^t}{2}\Bigr).

Passo 4

Use a concavidade estrita de \ln. Defina pesos
\alpha=\frac{a^t}{a^t+b^t}, \quad \beta=\frac{b^t}{a^t+b^t},
com \alpha+\beta=1. Como \ln é estritamente concava,
\alpha\ln a + \beta\ln b < \ln\bigl(\alpha a+\beta b\bigr) = \ln\!\Bigl(\tfrac{a^{t+1}+b^{t+1}}{a^t+b^t}\Bigr).
Multiplicando ambos os lados por t e reagrupando, chega-se exatamente a
t\, \frac{a^t\ln a + b^t\ln b}{a^t+b^t} > \ln\!\Bigl(\tfrac{a^t+b^t}{2}\Bigr),
ou seja, \varphi'(t)>0.

Passo 5

Como \varphi'(t)>0 para todo t>0, a função \varphi é estritamente crescente. Assim
\varphi(n+1)>\varphi(n) \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\tfrac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2}\Bigr)^{1/(n+1)} > \Bigl(\tfrac{a^n+b^n}{2}\Bigr)^{1/n}.

Resposta

A desigualdade
\Bigl(\tfrac{2024^{n+1}+2025^{n+1}}{2}\Bigr)^{\!1/(n+1)} > \Bigl(\tfrac{2024^n+2025^n}{2}\Bigr)^{\!1/n}
vale para todo inteiro positivo n.

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