Para quais valores primos \\\mathbf{p}\\ existe um poliedro convexo tal que cada vértice pertence a exatamente \\\mathbf{p}\\ faces?

Passo 1

O enunciado pergunta: para quais números primos p existe um poliedro convexo em que cada vértice incide em exatamente p faces? Vamos usar teoria de grafos e poliedros convexos, em particular as relações de incidência vértice–aresta–face e a fórmula de Euler.

Passo 2

Sejam V, E e F o número de vértices, arestas e faces do poliedro. Cada vértice incide em p faces, logo o total de incidências vértice–face é p\,V.
Por outro lado, cada face com k arestas incide em k vértices, e somando sobre todas as faces obtemos
\sum_{\text{faces}}k \;=\; 2E.
Logo a relação de incidência dá
p\,V \;=\; 2E.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Euler
V - E + F \;=\; 2
e substituindo E = \tfrac{pV}{2}, temos
V - \frac{pV}{2} + F = 2 \;\;\Longrightarrow\;\; F = \frac{(p-2)V}{2} + 2.

Passo 4

Como cada face tem pelo menos três vértices, a soma das incidências vértice–face satisfaz
2E = pV \;\ge\; 3F.
Substituindo F e E em função de V:
pV \;\ge\; 3\Bigl(\frac{(p-2)V}{2}+2\Bigr) \;\Longrightarrow\; pV \;\ge\; \frac{3(p-2)V}{2} + 6.
Multiplicando por 2 e rearranjando,
2pV \;\ge\; 3(p-2)V + 12 \;\Longrightarrow\; (2p - 3p + 6)V \;\ge\; 12 \;\Longrightarrow\; (p - 6)V \;\le\; -12.
Como V>0, isso impõe
p \;<\; 6.

Passo 5

Entre os primos menores que 6, temos p=2,3,5. Mas em um poliedro convexo cada vértice está em pelo menos três faces, logo p\ge3. Assim restam
p = 3 \quad\text{ou}\quad p = 5.
Existem de fato exemplos:
  • Para p=3 (vértice de valência 3) há muitos poliedros triangulados, por exemplo o prisma triangular.
  • Para p=5 aparece o icosaedro regular, em que cada vértice incide em 5 faces.

Resposta

p = 3 ou p = 5.

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