Um poliedro convexo tem 11 vértices, o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e uma face pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro.

Passo 1

O enunciado fala de um poliedro convexo com V=11 vértices, cujo número de faces triangulares é igual ao número de faces quadrangulares, e ainda possui exatamente uma face pentagonal. O que se pede é o total de faces F desse poliedro.
Conteúdo que vamos usar:
  1. A fórmula de Euler para poliedros convexos:
V - E + F = 2.
  1. A relação “mãozinha” entre arestas e faces: a soma dos números de lados de todas as faces vale 2E.

Passo 2

Definimos: \displaystyle F_3 = número de faces triangulares, \displaystyle F_4 = número de faces quadrangulares, \displaystyle F_5=1 = número de faces pentagonais.
O total de faces é
F = F_3 + F_4 + F_5.
Como cada face de k lados contribui com k arestas na soma total, temos
2E = 3F_3 + 4F_4 + 5F_5.

Passo 3

Como o enunciado diz que F_3 = F_4, chamemos esse valor comum de x. Logo:
F_3 = F_4 = x, \quad F_5 = 1.
Então
F = x + x + 1 = 2x + 1,
2E = 3x + 4x + 5\cdot1 = 7x + 5 \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{7x + 5}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Euler V - E + F = 2 com V=11:
11 \;-\;\frac{7x+5}{2}\;+\;(2x+1) \;=\;2.
Multiplicando tudo por 2 para facilitar:
22 - (7x+5) + 2(2x+1) = 4.
Desenvolvendo e somando termos semelhantes:
22 -7x -5 +4x +2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad 19 - 3x = 4 \quad\Longrightarrow\quad -3x = -15 \quad\Longrightarrow\quad x = 5.

Passo 5

Tendo x=5, o total de faces é
F = 2x + 1 = 2\cdot5 + 1 = 11.

Resposta

O poliedro tem 11 faces.

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