Um poliedro convexo tem 11 vértices, o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e uma face pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro.
Passo 1
O enunciado fala de um poliedro convexo com
vértices, cujo número de faces triangulares é igual ao número de faces quadrangulares, e ainda possui exatamente uma face pentagonal. O que se pede é o total de faces
desse poliedro.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- A fórmula de Euler para poliedros convexos:
- A relação “mãozinha” entre arestas e faces: a soma dos números de lados de todas as faces vale
.
Passo 2
Definimos:
= número de faces triangulares,
= número de faces quadrangulares,
= número de faces pentagonais.
O total de faces é
O total de faces é
Como cada face de
lados contribui com
arestas na soma total, temos
Passo 3
Como o enunciado diz que
, chamemos esse valor comum de
. Logo:
Então
Passo 4
Aplicando a fórmula de Euler
com
:
Multiplicando tudo por 2 para facilitar:
Desenvolvendo e somando termos semelhantes:
Passo 5
Tendo
, o total de faces é
Resposta
O poliedro tem 11 faces.