Supondo que a fórmula de Euler é verdadeira para o poliedro, determine o(\mathrm{~s}) número(s) de:
e) Vértices e arestas, dado que o poliedro é formado por oitenta faces triangulares e doze faces pentagonais.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número de vértices e o número de arestas do poliedro, supondo que a fórmula de Euler seja válida para ele.
Informações fornecidas:
  • O poliedro tem 80 faces triangulares.
  • O poliedro tem 12 faces pentagonais.
  • A hipótese do enunciado: a fórmula de Euler vale para o poliedro.
O que precisamos encontrar:
  • O número de vértices V.
  • O número de arestas E.

Passo 2

Contar o número total de faces F. Cada face é ou triangular ou pentagonal, logo
F = 80 + 12.
Calculemos:
F = 92.

Passo 3

Entender como as arestas aparecem quando contamos lados das faces. Uma face triangular tem 3 lados (arestas), uma pentagonal tem 5 lados. Se somarmos o número de lados de todas as faces obtemos o total de incidências “face–aresta” (cada vez que uma aresta aparece em uma face conta como uma incidência).
Calcule a soma das incidências:
\text{incidências} = 80\cdot 3 + 12\cdot 5.ê
Façamos a conta:
80\cdot 3 = 240,\qquad 12\cdot 5 = 60,
\text{incidências} = 240 + 60 = 300.ê

Passo 4

Explicar por que dividir por 2: numa superfície fechada (poliedro convencional), cada aresta está entre exatamente duas faces, ou seja, cada aresta é contada duas vezes na soma das incidências (uma vez para cada face que a usa). Portanto o número de arestas E é metade da soma das incidências:
E = \frac{\text{incidências}}{2}.ê
Aplicando ao nosso caso:
E = \frac{300}{2} = 150.

Passo 5

Usar a fórmula de Euler. A fórmula de Euler para um poliedro simples e conectado (caso assumido pelo enunciado) é
V - E + F = 2,
onde V é o número de vértices, E o número de arestas e F o número de faces.
Queremos V, então isolamos V:
V = 2 + E - F.
Substituindo os valores que já temos ( E=150 e F=92):
V = 2 + 150 - 92.

Passo 6

Fazer a conta final para V:
V = 2 + 150 - 92 = 60.
Resumo prático (modo de prova): contar faces, somar os lados das faces, dividir por 2 para obter arestas, aplicar Euler para obter vértices. Dá sempre para fazer à mão e rapidinho numa prova.

Resposta

Vértices: 60
Arestas: 150

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