Supondo que a fórmula de Euler é verdadeira para o poliedro, determine
número(s) de:
e) Vértices e arestas, dado que o poliedro é formado por oitenta faces triangulares e doze faces pentagonais.
e) Vértices e arestas, dado que o poliedro é formado por oitenta faces triangulares e doze faces pentagonais.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número de vértices e o número de arestas do poliedro, supondo que a fórmula de Euler seja válida para ele.
Informações fornecidas:
- O poliedro tem
faces triangulares. - O poliedro tem
faces pentagonais. - A hipótese do enunciado: a fórmula de Euler vale para o poliedro.
O que precisamos encontrar:
- O número de vértices
. - O número de arestas
.
Passo 2
Contar o número total de faces
. Cada face é ou triangular ou pentagonal, logo
Calculemos:
Passo 3
Entender como as arestas aparecem quando contamos lados das faces. Uma face triangular tem
lados (arestas), uma pentagonal tem
lados. Se somarmos o número de lados de todas as faces obtemos o total de incidências “face–aresta” (cada vez que uma aresta aparece em uma face conta como uma incidência).
Calcule a soma das incidências:
Façamos a conta:
Passo 4
Explicar por que dividir por
: numa superfície fechada (poliedro convencional), cada aresta está entre exatamente duas faces, ou seja, cada aresta é contada duas vezes na soma das incidências (uma vez para cada face que a usa). Portanto o número de arestas
é metade da soma das incidências:
Aplicando ao nosso caso:
Passo 5
Usar a fórmula de Euler. A fórmula de Euler para um poliedro simples e conectado (caso assumido pelo enunciado) é
onde
é o número de vértices,
o número de arestas e
o número de faces.
Queremos
, então isolamos
:
Substituindo os valores que já temos (
e
):
Passo 6
Fazer a conta final para
:
Resumo prático (modo de prova): contar faces, somar os lados das faces, dividir por
para obter arestas, aplicar Euler para obter vértices. Dá sempre para fazer à mão e rapidinho numa prova.
Resposta
Vértices:
Arestas:
Arestas: