Polígonos
A soma dos ângulos internos de um pentágono é:
a) 360^{\circ}
b) 540^{\circ}
c) 720^{\circ}
d) 900^{\circ}

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a soma dos ângulos internos de um pentágono e dá quatro alternativas:
a) 360^\circ
b) 540^\circ
c) 720^\circ
d) 900^\circ
Informações relevantes do enunciado:
  • Um pentágono é um polígono com 5 lados.
  • A pergunta é: “qual é a soma dos ângulos internos?” — ou seja, queremos o valor numérico da soma dos ângulos internos de um polígono de 5 lados.

Passo 2

Ideia-chave que vamos usar (explicada de forma visual e simples): se você escolher um vértice qualquer de um polígono e traçar diagonais desse vértice para todos os outros vértices que não sejam adjacentes, você divide o polígono em vários triângulos que não se sobrepõem. Vou explicar por que isso funciona e contar quantos triângulos aparecem.
Considere um polígono com n lados. Pegamos um vértice e desenhamos diagonais para todos os vértices não adjacentes. Quantos segmentos podemos traçar? Não podemos traçar para o próprio vértice (1) nem para os dois vértices adjacentes (2), portanto podemos traçar para os n-3 outros vértices. Esses n-3 diagonais, quando traçados a partir do mesmo vértice, dividem o polígono em exatamente n-2 triângulos. Exemplos concretos:
  • Para n=3 (triângulo), n-2=1 triângulo — corresponde ao próprio triângulo.
  • Para n=4 (quadrilátero), n-2=2 triângulos — ao traçar uma diagonal obtemos 2 triângulos.
  • Para n=5 (pentágono), n-2=3 triângulos — ao traçar as diagonais adequadas a partir de um vértice obtemos 3 triângulos.

Passo 3

Agora uma propriedade básica que precisamos lembrar (e que vou justificar): a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^\circ. Isso é um fato geométrico fundamental (é usualmente demonstrado usando paralelas ou a soma de ângulos internos). Como cada uma das n-2 peças em que o polígono foi dividido é um triângulo, a soma dos ângulos internos do polígono é a soma das somas dos ângulos desses triângulos. Portanto a fórmula geral é:
\text{soma dos ângulos internos de um polígono de }n\text{ lados} = (n-2)\cdot 180^\circ.âí
Aqui, a variável n representa o número de lados do polígono; o fator (n-2) é o número de triângulos da divisão; e 180^\circ é a soma dos ângulos de cada triângulo.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso do pentágono: aqui n=5. Substituímos na fórmula:
(5-2)\cdot 180^\circ = 3\cdot 180^\circ.
Fazendo a multiplicação:
3\cdot 180^\circ = 540^\circ.

Passo 5

Checagem rápida (para ficar mais seguro): se o pentágono for regular (todos os ângulos iguais), cada ângulo interno vale
\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n} = \frac{3\cdot 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ.
Multiplicando 5 ângulos iguais: 5\cdot 108^\circ = 540^\circ, que confirma o cálculo anterior.

Resposta

b) 540^\circ

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