Polígonos
A soma dos ângulos internos de um pentágono é:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a soma dos ângulos internos de um pentágono e dá quatro alternativas:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Informações relevantes do enunciado:
- Um pentágono é um polígono com
lados. - A pergunta é: “qual é a soma dos ângulos internos?” — ou seja, queremos o valor numérico da soma dos ângulos internos de um polígono de
lados.
Passo 2
Ideia-chave que vamos usar (explicada de forma visual e simples): se você escolher um vértice qualquer de um polígono e traçar diagonais desse vértice para todos os outros vértices que não sejam adjacentes, você divide o polígono em vários triângulos que não se sobrepõem. Vou explicar por que isso funciona e contar quantos triângulos aparecem.
Considere um polígono com
lados. Pegamos um vértice e desenhamos diagonais para todos os vértices não adjacentes. Quantos segmentos podemos traçar? Não podemos traçar para o próprio vértice (1) nem para os dois vértices adjacentes (2), portanto podemos traçar para os
outros vértices. Esses
diagonais, quando traçados a partir do mesmo vértice, dividem o polígono em exatamente
triângulos. Exemplos concretos:
- Para
(triângulo), triângulo — corresponde ao próprio triângulo. - Para
(quadrilátero), triângulos — ao traçar uma diagonal obtemos 2 triângulos. - Para
(pentágono), triângulos — ao traçar as diagonais adequadas a partir de um vértice obtemos 3 triângulos.
Passo 3
Agora uma propriedade básica que precisamos lembrar (e que vou justificar): a soma dos ângulos internos de um triângulo é
. Isso é um fato geométrico fundamental (é usualmente demonstrado usando paralelas ou a soma de ângulos internos). Como cada uma das
peças em que o polígono foi dividido é um triângulo, a soma dos ângulos internos do polígono é a soma das somas dos ângulos desses triângulos. Portanto a fórmula geral é:
Aqui, a variável
representa o número de lados do polígono; o fator
é o número de triângulos da divisão; e
é a soma dos ângulos de cada triângulo.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso do pentágono: aqui
. Substituímos na fórmula:
Fazendo a multiplicação:
Passo 5
Checagem rápida (para ficar mais seguro): se o pentágono for regular (todos os ângulos iguais), cada ângulo interno vale
Multiplicando
ângulos iguais:
, que confirma o cálculo anterior.
Resposta
b)