Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes na razão 1 / 3. Se o perímetro do triângulo maior é 36 cm , qual é o perímetro do menor?
a) 9 cm
b) 12 cm
c) 18 cm
d) 24 cm

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Dois triângulos são semelhantes com razão \frac{1}{3}.
  • O perímetro do triângulo maior é \;36\\ \text{cm}.
  • Pergunta: qual é o perímetro do triângulo menor? (opções: a) \;9\\ \text{cm} b) \;12\\ \text{cm} c) \;18\\ \text{cm} d) \;24\\ \text{cm})

Passo 2

Entendendo o que significa a razão de semelhança \frac{1}{3}.
  • Quando dois triângulos são semelhantes, lados correspondentes estão na mesma proporção. Se dizemos que a razão é \frac{1}{3}, isso significa que cada lado do triângulo menor vale \frac{1}{3} do lado correspondente do triângulo maior.
  • Vou representar: se os lados do triângulo maior são S_1,S_2,S_3 e os lados correspondentes do triângulo menor são s_1,s_2,s_3, então para cada i vale
s_i = \frac{1}{3}\,S_i.
  • Não se preocupe: é exatamente isso que "razão \frac{1}{3}" quer dizer aqui — menor dividido pelo maior = \frac{1}{3}.

Passo 3

Propriedade importante: o perímetro também escala com a mesma razão.
  • O perímetro é a soma dos lados. Perímetro do maior:
P_{\text{maior}} = S_1 + S_2 + S_3.
  • Perímetro do menor:
P_{\text{menor}} = s_1 + s_2 + s_3.
  • Substituindo s_i = \frac{1}{3}S_i em cada termo, temos
P_{\text{menor}} = \frac{1}{3}S_1 + \frac{1}{3}S_2 + \frac{1}{3}S_3.
  • Fatorando \frac{1}{3},
P_{\text{menor}} = \frac{1}{3}\,(S_1+S_2+S_3) = \frac{1}{3}\,P_{\text{maior}}.
  • Ou seja: quando lados correspondentes ficam \frac{1}{3} do original, o perímetro inteiro também fica \frac{1}{3} do perímetro original. Isso é geral: fator de escala dos lados = fator de escala dos perímetros.

Passo 4

Aplicando aos números do enunciado.
  • Sabemos que P_{\text{maior}}=\;36\\ \text{cm} e que o fator de escala é \frac{1}{3}. Logo
P_{\text{menor}}=\frac{1}{3}\cdot 36.

Passo 5

Fazendo a conta passo a passo (sem calculadora).
  • Primeiro, \frac{1}{3}\cdot 36 = \frac{36}{3}.
  • Dividindo 36 por 3: 36\div 3 = 12.
  • Portanto,
P_{\text{menor}} = 12\\ \text{cm}.

Passo 6

Comparando com as opções e concluindo.
  • Entre as alternativas dadas, a que corresponde a 12\\ \text{cm} é a letra b).
  • Pequeno reforço de entendimento: se a razão fosse \frac{1}{2}, o perímetro menor seria metade do maior; se fosse 2, o perímetro menor (se fosse o maior dos dois) seria o dobro, etc. Sempre o mesmo fator.

Resposta

b) 12\\ \text{cm}

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