O polinômio T(x)=x^{4}-5 x^{3}+9 x^{2}-7 x+2 possui x=1 como uma raiz de multiplicidade. Use Briot-Ruffini para reduzir o grau do polinômio e, em seguida, aplique o método de Newton-Raphson para encontrar a próxima raiz, iniciando com x_{0}=2. (Dica: aplique Briot-Ruffini duas vezes com x=1).

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
T(x)=x^{4}-5x^{3}+9x^{2}-7x+2
e informa que x=1 é raiz de multiplicidade maior que 1. Vamos usar o método de Briot–Ruffini (divisão sintética) duas vezes por x=1 para reduzir T a um polinômio de grau 2 e, em seguida, aplicar o método de Newton–Raphson nesse polinômio reduzido, com o chute inicial x_{0}=2, para encontrar a “próxima” raiz distinta de 1.

Passo 2

Primeira aplicação de Briot–Ruffini com x=1. Coeficientes de T: 1,\,-5,\,9,\,-7,\,2.
Tabela sintética:
\begin{array}{c|rrrrr} 1 & 1 & -5 & 9 & -7 & 2\\hline & & 1 & -4 & 5 & -2\\\ \end{array}
O quociente é o polinômio de grau 3
P_{1}(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2.

Passo 3

Segunda aplicação de Briot–Ruffini em P_{1}(x) por x=1. Coeficientes: 1,\,-4,\,5,\,-2.
Tabela sintética:
\begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & -4 & 5 & -2\\hline & & 1 & -3 & 2\\\ \end{array}
O quociente final é o polinômio de grau 2
Q(x)=x^{2}-3x+2.

Passo 4

Agora aplicamos Newton–Raphson em Q(x) para buscar a raiz diferente de 1, começando em x_{0}=2. A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{Q(x_{n})}{Q'(x_{n})}.
Calculamos
Q(2)=2^{2}-3\cdot 2+2=4-6+2=0, \quad Q'(x)=2x-3 \;\Longrightarrow\; Q'(2)=2\cdot 2-3=1.
Logo
x_{1}=2-\frac{0}{1}=2.

Resposta

A próxima raiz distinta de 1 obtida por Newton–Raphson é
x=2.

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