1. Encontre uma aproximação para a raiz real do polinômio S(x)=x^{3}-2 x^{2}+3 x-4 usando o método de Newton-Raphson, partindo de x_{0}=1.5. Utilize Briot-Ruffini para calcular os valores da função e de sua derivada em cada iteração.

Passo 1

O enunciado pede a raiz real do polinômio
S(x)=x^{3}-2x^{2}+3x-4
usando o método de Newton–Raphson com chute inicial x_{0}=1{,}5. Vamos precisar de:
  1. A derivada S'(x).
  2. A fórmula
x_{n+1} \;=\; x_{n}\;-\;\frac{S(x_{n})}{S'(x_{n})}.
  1. O método de Briot–Ruffini (divisão sintética) para avaliar S(x_{n}) e S'(x_{n}) em cada iteração.

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada:
S'(x)=3x^{2}-4x+3.
Para avaliar numericamente usamos Briot–Ruffini sobre os coeficientes de S, que são (1,\,-2,\,3,\,-4), e de S', que são (3,\,-4,\,3).

Passo 3

Iteração 1 ( x_{0}=1{,}5):
Avaliação de S(1{,}5) por Briot–Ruffini com (1,\,-2,\,3,\,-4):
\begin{array}{r|rrrr} 1{,}5 & 1 & -2 & 3 & -4\\hline & & 1{,}5 & -0{,}5 & 2{,}25\\\ & 1 & -0{,}5 & 2{,}25 & -0{,}625 \end{array}
Logo, S(1{,}5)=-0{,}625.
Avaliação de S'(1{,}5) por Briot–Ruffini com (3,\,-4,\,3):
\begin{array}{r|rrr} 1{,}5 & 3 & -4 & 3\\hline & & 4{,}5 & 0{,}5\\\ & 3 & 0{,}5 & 3{,}75 \end{array}
Logo, S'(1{,}5)=3{,}75.
Aplicando Newton:
x_{1} =1{,}5-\frac{-0{,}625}{3{,}75} =1{,}5+0{,}166\overline{6} =1{,}666\overline{6}.

Passo 4

Iteração 2 ( x_{1}=1{,}666\overline{6}):
Avaliação de S(1{,}666\overline{6}):
\begin{array}{r|rrrr} 1{,}666\overline{6} & 1 & -2 & 3 & -4\\hline & & 1{,}666\overline{6} & -0{,}333\overline{3} & 2{,}4444\overline{4}\\\ & 1 & -0{,}333\overline{3} & 2{,}4444\overline{4} & 0{,}07407\overline{4} \end{array}
Então S(1{,}666\overline{6})\approx0{,}074074.
Avaliação de S'(1{,}666\overline{6}):
\begin{array}{r|rrr} 1{,}666\overline{6} & 3 & -4 & 3\\hline & & 5 & 1\\\ & 3 & 1 & 4{,}666\overline{6} \end{array}
Logo S'(1{,}666\overline{6})\approx4{,}666\overline{6}.
Aplicando Newton:
x_{2} =1{,}666\overline{6}-\frac{0{,}074074}{4{,}666\overline{6}} \approx1{,}6507937.

Passo 5

Iteração 3 ( x_{2}\approx1{,}6507937):
Avaliação de S(1{,}6507937):
\begin{array}{r|rrrr} 1{,}6507937 & 1 & -2 & 3 & -4\\hline & & 1{,}6507937 & -0{,}3492063 & 2{,}4232741\\\ & 1 & -0{,}3492063 & 2{,}4232741 & 0{,}0000003 \end{array}
Portanto S(1{,}6507937)\approx3\times10^{-7}\approx0.
Avaliação de S'(1{,}6507937):
\begin{array}{r|rrr} 1{,}6507937 & 3 & -4 & 3\\hline & & 4{,}9523811 & 0{,}9523811\\\ & 3 & 0{,}9523811 & 4{,}5725239 \end{array}
Logo S'(1{,}6507937)\approx4{,}5725239.
Assim
x_{3} =1{,}6507937-\frac{3\times10^{-7}}{4{,}5725239} \approx1{,}6507936,
indicando convergência.

Resposta

A raiz real aproximada é
x\approx1{,}6507936.

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