Descreva um algoritmo para cálculo de \sqrt[4]{7}, usando o Método de Newton.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular \sqrt[4]{7} (a raiz quarta positiva de 7) usando o Método de Newton. Informação relevante que temos do enunciado:
  • Quer-se a raiz positiva da equação x^4-7=0.
  • O objetivo é descrever um algoritmo (fórmula iterativa, critério de parada, escolha de chute inicial) e mostrar como aplicá‑lo passo a passo até obter a resposta numérica.

Passo 2

Breve explicação do Método de Newton (intuição e fórmula geral).
  • Se queremos resolver uma equação f(x)=0, o Método de Newton constrói uma sequência (x_n) que tende a uma raiz, usando aproximações lineares de f em torno de x_n.
  • A ideia: aproximar f por sua reta tangente em x_n e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como novo ponto x_{n+1}.
  • A fórmula geral do Método de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Aqui f'(x) é a derivada de f. O método tem convergência quadrática quando a aproximação inicial está suficientemente perto da raiz (ou seja, o erro praticamente “quadruplica” em rapidez): em palavras, o número de dígitos corretos dobra a cada iteração, após algum ponto.

Passo 3

Aplicando Newton ao caso f(x)=x^4-7.
  • Escolhemos f(x)=x^4-7. Então a derivada é
f'(x)=4x^3.
  • Substituindo na fórmula geral:
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^4-7}{4x_n^3}.
  • Simplificando a expressão para ficar mais conveniente para cálculo manual:
x_{n+1}=x_n-\frac{1}{4}\left(x_n-\frac{7}{x_n^3}\right) =\frac{3}{4}x_n+\frac{7}{4x_n^3}.
Essa última forma é a fórmula iterativa que vamos usar; é prática porque envolve apenas multiplicações e uma divisão por x_n^3.

Passo 4

Escolha do chute inicial x_0 e justificativa.
  • Sabemos que 1^4=1<7 e 2^4=16>7, portanto a raiz positiva está entre 1 e 2. Um chute simples e seguro para fazer à mão é x_0=2 (fácil de manipular e já dentro do intervalo correto).
  • Alternativa mais próxima seria x_0= \sqrt[4]{8} \approx 1,68179, mas x_0=2 é suficiente e simples para começar.

Passo 5

Critério de parada (quando parar as iterações).
  • Dois critérios práticos e equivalentes para parar:
    1. |x_{n+1}-x_n|<\text{tol}, onde \text{tol} é a tolerância desejada (por exemplo \text{tol}=10^{-6} para seis casas decimais).
    2. |f(x_{n+1})|<\text{tol} (avaliar x_{n+1}^4-7).
  • Para provas sem calculadora, normalmente basta realizar um número fixo pequeno de iterações (2 ou 3) e justificar que o erro já é pequeno por convergência rápida do método.

Passo 6

Pseudocódigo do algoritmo (passo a passo):
  • Dados: f(x)=x^4-7, f'(x)=4x^3, chute inicial x_0, tolerância \text{tol}, máximo de iterações N_{\max}.
  • Para n=0,1,2,\dots até N_{\max}-1:
    • Calcule x_{n+1}=\dfrac{3}{4}x_n+\dfrac{7}{4x_n^3}.
    • Se |x_{n+1}-x_n|<\text{tol}, pare e retorne x_{n+1}.
  • Se atingir N_{\max} sem convergir, reportar não convergido (ou aumentar N_{\max}).
  • Observação: cuidar para nunca dividir por x_n^3 com x_n=0; isso não ocorre aqui porque escolhemos x_0>0 e iterações permanecem positivas.

Passo 7

Aplicação numérica manual (exemplo prático com x_0=2). Vou mostrar as contas de forma clara para que dê para reproduzir sem pular etapas.
  • Iteração 0 \to 1:
    • x_0=2.
    • Calcule
    x_1=\frac{3}{4}\cdot 2+\frac{7}{4\cdot 2^3} =\frac{3}{2}+\frac{7}{32} =1{,}5+0{,}21875 =1{,}71875.(Observação: aqui usei 2^3=8 e 4\cdot 8=32.)
  • Iteração 1 \to 2:
    • x_1=1{,}71875. Primeiro calcule x_1^3. Como x_1=\tfrac{55}{32},
    x_1^3=\frac{55^3}{32^3}=\frac{166375}{32768}\approx 5{,}077376.
    • Agora
    x_2=\frac{3}{4}x_1+\frac{7}{4x_1^3} =\frac{3}{4}\cdot 1{,}71875+\frac{7}{4\cdot 5{,}077376}.Calcule cada termo:
    \frac{3}{4}\cdot 1{,}71875=1{,}2890625.
    4x_1^3\approx 20{,}309504, então \dfrac{7}{4x_1^3}\approx 0{,}344713.
    Somando: x_2\approx 1{,}2890625+0{,}344713\approx 1{,}6337755.
  • Iteração 2 \to 3 (mostrar que converge rápido):
    • Com x_2\approx 1{,}6337755, calcule x_2^3\approx 4{,}345 (aprox.; dá para obter mais precisão por multiplicação longa).
    • Em seguida
    x_3=\frac{3}{4}x_2+\frac{7}{4x_2^3}\approx \frac{3}{4}\cdot 1{,}6337755+\frac{7}{4\cdot 4{,}345}\approx 1{,}62658\\ (\text{aprox.}).
    • Note que x_3 já está muito perto do valor verdadeiro \sqrt[4]{7}. A convergência é rápida (quadrática), então mais uma iteração tipicamente produz precisão excelente.

Passo 8

Comentário sobre erro e número de iterações necessários.
  • O Método de Newton tem convergência quadrática perto da raiz: se o erro em uma iteração é e_n= x_n-\alpha (onde \alpha é a raiz), então para n grande
|e_{n+1}|\approx C|e_n|^2
para alguma constante C. Isso significa que, depois de ficarmos razoavelmente perto, os dígitos corretos dobram a cada iteração.
  • No nosso exemplo com x_0=2 vimos x_1=1{,}71875, x_2\approx1{,}6337755 e x_3\approx1{,}62658. O valor verdadeiro é \sqrt[4]{7}\approx1{,}62657656, então em 3 iterações já se obtém precisão de várias casas decimais.

Passo 9

Como fazer à mão numa prova (dicas práticas).
  • Use x_0=2 para começar: contas iniciais são simples (potências de 2).
  • Faça as primeiras 2 ou 3 iterações com 6 ou 7 casas decimais intercaladas; arredonde só no final de cada iteração para não acumular muito erro.
  • Use a forma iterativa compacta
x_{n+1}=\frac{3}{4}x_n+\frac{7}{4x_n^3},
porque requer apenas calcular x_n^3, uma divisão e duas multiplicações simples.
  • Pare quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-k} se quiser k casas decimais corretas.

Resposta

x_{n+1}=\dfrac{3}{4}x_n+\dfrac{7}{4x_n^3} (fórmula iterativa de Newton para \sqrt[4]{7})
\sqrt[4]{7}\approx 1{,}62657656

Exercícios relacionados