Descreva um algoritmo para cálculo de
, usando o Método de Newton.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular
(a raiz quarta positiva de
) usando o Método de Newton. Informação relevante que temos do enunciado:
- Quer-se a raiz positiva da equação
. - O objetivo é descrever um algoritmo (fórmula iterativa, critério de parada, escolha de chute inicial) e mostrar como aplicá‑lo passo a passo até obter a resposta numérica.
Passo 2
Breve explicação do Método de Newton (intuição e fórmula geral).
- Se queremos resolver uma equação
, o Método de Newton constrói uma sequência que tende a uma raiz, usando aproximações lineares de em torno de . - A ideia: aproximar
por sua reta tangente em e tomar a interseção dessa reta com o eixo como novo ponto . - A fórmula geral do Método de Newton é
- Aqui
é a derivada de . O método tem convergência quadrática quando a aproximação inicial está suficientemente perto da raiz (ou seja, o erro praticamente “quadruplica” em rapidez): em palavras, o número de dígitos corretos dobra a cada iteração, após algum ponto.
Passo 3
Aplicando Newton ao caso
.
- Escolhemos
. Então a derivada é
- Substituindo na fórmula geral:
- Simplificando a expressão para ficar mais conveniente para cálculo manual:
Essa última forma é a fórmula iterativa que vamos usar; é prática porque envolve apenas multiplicações e uma divisão por
.
Passo 4
Escolha do chute inicial
e justificativa.
- Sabemos que
e , portanto a raiz positiva está entre e . Um chute simples e seguro para fazer à mão é (fácil de manipular e já dentro do intervalo correto). - Alternativa mais próxima seria
, mas é suficiente e simples para começar.
Passo 5
Critério de parada (quando parar as iterações).
- Dois critérios práticos e equivalentes para parar:
-
, onde é a tolerância desejada (por exemplo para seis casas decimais). -
(avaliar ).
-
- Para provas sem calculadora, normalmente basta realizar um número fixo pequeno de iterações (2 ou 3) e justificar que o erro já é pequeno por convergência rápida do método.
Passo 6
Pseudocódigo do algoritmo (passo a passo):
- Dados:
, , chute inicial , tolerância , máximo de iterações . - Para
até : - Calcule
. - Se
, pare e retorne .
- Calcule
- Se atingir
sem convergir, reportar não convergido (ou aumentar ). - Observação: cuidar para nunca dividir por
com ; isso não ocorre aqui porque escolhemos e iterações permanecem positivas.
Passo 7
Aplicação numérica manual (exemplo prático com
). Vou mostrar as contas de forma clara para que dê para reproduzir sem pular etapas.
- Iteração 0
1: -
. - Calcule
(Observação: aqui usei e .) -
- Iteração 1
2: -
. Primeiro calcule . Como ,
- Agora
Calcule cada termo:
.
, então .
Somando: -
- Iteração 2
3 (mostrar que converge rápido): - Com
, calcule (aprox.; dá para obter mais precisão por multiplicação longa). - Em seguida
- Note que
já está muito perto do valor verdadeiro . A convergência é rápida (quadrática), então mais uma iteração tipicamente produz precisão excelente.
- Com
Passo 8
Comentário sobre erro e número de iterações necessários.
- O Método de Newton tem convergência quadrática perto da raiz: se o erro em uma iteração é
(onde é a raiz), então para grande
para alguma constante
. Isso significa que, depois de ficarmos razoavelmente perto, os dígitos corretos dobram a cada iteração.
- No nosso exemplo com
vimos , e . O valor verdadeiro é , então em 3 iterações já se obtém precisão de várias casas decimais.
Passo 9
Como fazer à mão numa prova (dicas práticas).
- Use
para começar: contas iniciais são simples (potências de ). - Faça as primeiras 2 ou 3 iterações com 6 ou 7 casas decimais intercaladas; arredonde só no final de cada iteração para não acumular muito erro.
- Use a forma iterativa compacta
porque requer apenas calcular
, uma divisão e duas multiplicações simples.
- Pare quando
se quiser casas decimais corretas.