Use o método das secantes para encontrar uma aproximação
da raiz positiva da equação
, satisfazendo
.
18. O polinômio de grau 4
tem duas raízes reais, uma em
e outra em
. Faça três iterações dos métodos e compare o desempenho.
(a) Método da falsa posição
(b) Método das secantes
18. O polinômio de grau 4
(a) Método da falsa posição
(b) Método das secantes
Passo 1
Vou separar claramente o que cada item pede e quais informações o enunciado nos dá.
-
Problema 1 (secantes):
- Pede: usar o método das secantes para encontrar uma aproximação
da raiz positiva da equação satisfazendo . - Informação dada: a equação explícita
. Procuro a raiz positiva (ou seja ).
- Pede: usar o método das secantes para encontrar uma aproximação
-
Problema 18 (polinômio grau 4):
- Pede: o polinômio
tem duas raízes reais: uma em e outra em . Fazer três iterações dos métodos e comparar desempenho:
(a) Método da falsa posição (regula falsi).
(b) Método das secantes. - Informação dada: os intervalos de localização das raízes
e e a expressão de .
- Pede: o polinômio
Passo 2
Entendendo e escrevendo as fórmulas dos métodos (aula curta e intuitiva).
-
Método das secantes (fórmula e ideia):
- Ideia: aproximar a função por uma reta que passe pelos dois últimos pontos
e e tomar a interseção dessa reta com o eixo . - Fórmula de iteração:
- Observações didáticas:
- Aqui
e são as duas últimas aproximações conhecidas. - Não é necessário manter um intervalo de sinal (o método pode sair do intervalo), mas costuma convergir rápido quando os pontos iniciais estão razoavelmente próximos da raiz.
- Ao aplicar na prova, calcule
nos pontos e compute a fração com cuidado; se o denominador for pequeno, atenção (risco numérico).
- Aqui
- Ideia: aproximar a função por uma reta que passe pelos dois últimos pontos
-
Método da falsa posição (regula falsi):
- Ideia: também usa a reta que conecta dois pontos, mas força que a nova aproximação mantenha o bracketing (ou seja, mantém um intervalo
com e de sinais opostos). - Fórmula (equivalente à interseção da reta com o eixo
): - Depois de calcular
, escolhe-se o subintervalo ou que contém a raiz, isto é, mantém o par de pontos com sinais opostos. - Observação: regula falsi conserva o bracket e, portanto, é mais robusto para garantir que a aproximação permaneça perto da raiz; por outro lado, pode convergir lentamente em alguns casos.
- Ideia: também usa a reta que conecta dois pontos, mas força que a nova aproximação mantenha o bracketing (ou seja, mantém um intervalo
Passo 3
Aplicando o método das secantes ao primeiro problema passo a passo (escolha de pontos iniciais e iterações até a tolerância).
- Escolha dos chutes iniciais:
- Avaliando rapidamente
em alguns pontos:
- Avaliando rapidamente
-
Como
e , a raiz positiva está entre e . Esses dois pontos são bons chutes iniciais para o método das secantes. -
Tomo
e . -
Iteração 1 (calcular
): - Usando a fórmula das secantes:
- Substituindo números:
- Avaliando
em :
- Usando a fórmula das secantes:
-
Iteração 2 (calcular
): - Agora os pontos usados são
e . - Calcule
e . Assim - Avaliando
em :
- Agora os pontos usados são
-
Iteração 3 (calcular
): - Agora uso
e . - Calcule
e . Assim a fração é . - Avaliando
em : - Critério:
. Portanto a tolerância requerida foi atingida em .
- Agora uso
-
Observações para a prova:
- Anote sempre
, e os cálculos intermediários (diferenças e razões). - Use chutes iniciais que garantam sinais distintos próximos da raiz quando possível; aqui
e funcionaram bem. - No rascunho, mantenha 4–6 casas decimais para não perder precisão nos cálculos manuais.
- Anote sempre
Passo 4
Aplicando os métodos (falsa posição e secantes) ao polinômio do problema 18 — preparo e avaliação inicial.
-
Escrevo de novo a função:
-
Avaliações iniciais úteis (peguei estes valores diretamente do polinômio):
- Assim na raiz em
temos e . - Na raiz em
temos e .
- Assim na raiz em
-
Procedimento pedido: para cada raiz (cada intervalo) executar 3 iterações do método da falsa posição e 3 iterações do método das secantes (tomando como pontos iniciais os extremos dados).
Vou organizar por intervalo.
Passo 5
Intervalo
— método da falsa posição (três iterações detalhadas).
-
Dados iniciais:
, , , . -
Iteração 1 (calcular
): Avaliação:Comoe , novo intervalo é . -
Iteração 2 (calcular
) com , : Avaliação:Novo intervalo(pois ). -
Iteração 3 (calcular
) com , : Avaliação: -
Resultado da falsa posição após 3 iterações no intervalo
: com .
Passo 6
Intervalo
— método das secantes (três iterações, começando em
,
).
-
Dados iniciais:
, ; , . -
Iteração 1 (calcular
): (Idêntico ao primeiro ponto da falsa posição.)Avaliação:. -
Iteração 2 (calcular
) usando e : Avaliação:(já mudou de sinal). -
Iteração 3 (calcular
) usando e : Avaliação:. -
Resultado das secantes após 3 iterações no intervalo
: com . -
Observação comparativa para este intervalo: depois de 3 iterações a secante chegou a uma aproximação com
(bem pequena), enquanto a falsa posição, mesmo mantendo o bracket, tinha (muito maior). Aqui as secantes foram mais rápidas.
Passo 7
Intervalo
— método da falsa posição (três iterações detalhadas).
-
Dados iniciais:
, , , . -
Iteração 1 (calcular
): Avaliação:Comoe , novo intervalo é . -
Iteração 2 (calcular
) com , : Avaliação:Novo intervalo. -
Iteração 3 (calcular
) com , : Avaliação: -
Resultado da falsa posição após 3 iterações no intervalo
: com .
Passo 8
Intervalo
— método das secantes (três iterações, começando em
,
).
-
Dados iniciais:
, ; , . -
Iteração 1 (calcular
): Avaliação:(mesmo que na falsa posição). -
Iteração 2 (calcular
) usando e : Avaliação:(idem à falsa posição no segundo passo). -
Iteração 3 (calcular
) usando e : - Calculando numericamente:
e . - O numerador
. Dividido por dá aproximadamente . - Avaliação aproximada:
seria um valor grande (não perto de zero). Portanto aqui a iteração 3 das secantes saiu do intervalo e produziu uma aproximação inútil para a raiz em .
- Calculando numericamente:
-
Observação: neste intervalo as secantes tornaram-se instáveis (passaram para um
fora do intervalo e longe da raiz). A falsa posição manteve sempre o bracket e convergiu de forma estável (mesmo que lenta), enquanto a secante divergiu no terceiro passo.
Passo 9
Interpretação final e dicas práticas (resumindo desempenho e o que aprender para a prova).
- Para o primeiro problema (equação transcendental), as secantes convergiram rapidamente: em 3 iterações (obtendo
) já atingimos . - Para o polinômio:
- No intervalo
: as secantes foram mais eficientes — em 3 iterações conseguiram uma aproximação com , enquanto a falsa posição ainda tinha . - No intervalo
: a falsa posição foi mais robusta (manteve bracket e produz resultados plausíveis: com ); já as secantes, após 3 iterações, saíram do intervalo e deram (muito longe da raiz), mostrando instabilidade nesse caso.
- No intervalo
- Regra prática para a prova:
- Se tiver um intervalo com mudança de sinal e precisar de robustez (garantir que as aproximações fiquem no intervalo), use falsa posição.
- Se tiver bom chute inicial e quiser rapidez, use secantes (ou Newton), lembrando do risco de sair do intervalo.
Resposta
Para
com secantes, usando
,
:
,
,
,
,
(aqui
).
Para
:
Intervalo
:
- Falsa posição (3 iterações):
, . - Secantes (3 iterações, começando em
): , .
Intervalo
:
- Falsa posição (3 iterações):
, . - Secantes (3 iterações, começando em
): (teve saída do intervalo; método instável neste caso).