Use o método das secantes para encontrar uma aproximação \left\{x_{k}\right\} da raiz positiva da equação \sqrt{x}- 5 e^{-x}=0, satisfazendo \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-2}.
18. O polinômio de grau 4
f(x)=230 x^{4}+18 x^{3}+9 x^{2}-221 x-9
tem duas raízes reais, uma em [-1,0] e outra em [0,1]. Faça três iterações dos métodos e compare o desempenho.
(a) Método da falsa posição
(b) Método das secantes

Passo 1

Vou separar claramente o que cada item pede e quais informações o enunciado nos dá.
  • Problema 1 (secantes):
    • Pede: usar o método das secantes para encontrar uma aproximação \{x_k\} da raiz positiva da equação f(x)=\sqrt{x}-5e^{-x}=0satisfazendo \left|f\left(x_k\right)\right|<10^{-2}.
    • Informação dada: a equação explícita f(x)=\sqrt{x}-5e^{-x}. Procuro a raiz positiva (ou seja x>0).
  • Problema 18 (polinômio grau 4):
    • Pede: o polinômio f(x)=230x^{4}+18x^{3}+9x^{2}-221x-9tem duas raízes reais: uma em [-1,0] e outra em [0,1]. Fazer três iterações dos métodos e comparar desempenho:
      (a) Método da falsa posição (regula falsi).
      (b) Método das secantes.
    • Informação dada: os intervalos de localização das raízes [-1,0] e [0,1] e a expressão de f(x).

Passo 2

Entendendo e escrevendo as fórmulas dos métodos (aula curta e intuitiva).
  • Método das secantes (fórmula e ideia):
    • Ideia: aproximar a função por uma reta que passe pelos dois últimos pontos (x_{k-1},f(x_{k-1})) e (x_{k},f(x_{k})) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x.
    • Fórmula de iteração: x_{k+1}=x_{k}-f(x_{k})\frac{x_{k}-x_{k-1}}{\,f(x_{k})-f(x_{k-1})\,}.
    • Observações didáticas:
      • Aqui \,x_{k-1} e \,x_{k} são as duas últimas aproximações conhecidas.
      • Não é necessário manter um intervalo de sinal (o método pode sair do intervalo), mas costuma convergir rápido quando os pontos iniciais estão razoavelmente próximos da raiz.
      • Ao aplicar na prova, calcule f nos pontos e compute a fração com cuidado; se o denominador for pequeno, atenção (risco numérico).
  • Método da falsa posição (regula falsi):
    • Ideia: também usa a reta que conecta dois pontos, mas força que a nova aproximação mantenha o bracketing (ou seja, mantém um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos).
    • Fórmula (equivalente à interseção da reta com o eixo x): c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{\,f(b)-f(a)\,}.
    • Depois de calcular c, escolhe-se o subintervalo [a,c] ou [c,b] que contém a raiz, isto é, mantém o par de pontos com sinais opostos.
    • Observação: regula falsi conserva o bracket e, portanto, é mais robusto para garantir que a aproximação permaneça perto da raiz; por outro lado, pode convergir lentamente em alguns casos.

Passo 3

Aplicando o método das secantes ao primeiro problema passo a passo (escolha de pontos iniciais e iterações até a tolerância).
  • Escolha dos chutes iniciais:
    • Avaliando rapidamente f em alguns pontos: f(1)=\sqrt{1}-5e^{-1}=1-5e^{-1}\approx1-1,839397\approx-0,839397
f(2)=\sqrt{2}-5e^{-2}\approx1,414214-5\cdot0,135335\approx1,414214-0,676676\approx0,737538.
  • Como f(1)<0 e f(2)>0, a raiz positiva está entre 1 e 2. Esses dois pontos são bons chutes iniciais para o método das secantes.
  • Tomo x_{0}=1 e x_{1}=2.
  • Iteração 1 (calcular x_{2}):
    • Usando a fórmula das secantes: x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}.
    • Substituindo números: x_{2}=2-0,737538\frac{2-1}{0,737538-(-0,839397)}=2-\frac{0,737538}{1,576935}\approx2-0,467641\approx1,532359.
    • Avaliando f em x_{2}: f(1,532359)=\sqrt{1,532359}-5e^{-1,532359}\approx1,237919-1,080894\approx0,157025.
  • Iteração 2 (calcular x_{3}):
    • Agora os pontos usados são x_{1}=2 e x_{2}=1,532359. x_{3}=1,532359-0,157025\frac{1,532359-2}{0,157025-0,737538}.
    • Calcule 1,532359-2=-0,467641 e 0,157025-0,737538=-0,580513. Assim x_{3}=1,532359-0,157025\cdot\frac{-0,467641}{-0,580513} =1,532359-0,157025\cdot0,805999\approx1,532359-0,126500\approx1,405859.
    • Avaliando f em x_{3}: f(1,405859)=\sqrt{1,405859}-5e^{-1,405859}\approx1,186536-1,226000\approx-0,039464.
  • Iteração 3 (calcular x_{4}):
    • Agora uso x_{2}=1,532359 e x_{3}=1,405859. x_{4}=1,405859-(-0,039464)\frac{1,405859-1,532359}{-0,039464-0,157025}.
    • Calcule 1,405859-1,532359=-0,126500 e -0,039464-0,157025=-0,196489. Assim a fração é (-0,126500)/(-0,196489)=0,643935. x_{4}=1,405859+0,039464\cdot0,643935\approx1,405859+0,025412\approx1,431271.
    • Avaliando f em x_{4}: f(1,431271)=\sqrt{1,431271}-5e^{-1,431271}\approx1,196360-1,194497\approx0,001863.
    • Critério: \left|f(1,431271)\right|\approx0,001863<10^{-2}. Portanto a tolerância requerida foi atingida em x_{4}.
  • Observações para a prova:
    • Anote sempre x_{k}, f(x_{k}) e os cálculos intermediários (diferenças e razões).
    • Use chutes iniciais que garantam sinais distintos próximos da raiz quando possível; aqui 1 e 2 funcionaram bem.
    • No rascunho, mantenha 4–6 casas decimais para não perder precisão nos cálculos manuais.

Passo 4

Aplicando os métodos (falsa posição e secantes) ao polinômio do problema 18 — preparo e avaliação inicial.
  • Escrevo de novo a função:
    f(x)=230x^{4}+18x^{3}+9x^{2}-221x-9.
  • Avaliações iniciais úteis (peguei estes valores diretamente do polinômio):
    f(-1)=230+(-18)+9+221-9=433, \qquad f(0)=-9, \qquad f(1)=230+18+9-221-9=27.
    • Assim na raiz em [-1,0] temos f(-1)>0 e f(0)<0.
    • Na raiz em [0,1] temos f(0)<0 e f(1)>0.
  • Procedimento pedido: para cada raiz (cada intervalo) executar 3 iterações do método da falsa posição e 3 iterações do método das secantes (tomando como pontos iniciais os extremos dados).
Vou organizar por intervalo.

Passo 5

Intervalo [-1,0] — método da falsa posição (três iterações detalhadas).
  • Dados iniciais: a=-1, b=0, f(a)=433, f(b)=-9.
  • Iteração 1 (calcular c_{1}):
    c_{1}=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)} =\frac{-1\cdot(-9)-0\cdot433}{-9-433}=\frac{9}{-442}\approx-0,020361.
    Avaliação:
    f(-0,020361)\approx-4,49658.
    Como f(a)>0 e f(c_{1})<0, novo intervalo é [-1,c_{1}].
  • Iteração 2 (calcular c_{2}) com a=-1, b=c_{1}=-0,020361:
    c_{2}=\frac{-1\cdot f(b)-b\cdot f(a)}{f(b)-f(a)} =\frac{-1\cdot(-4,49658)-(-0,020361)\cdot433}{-4,49658-433} \approx-0,030430.
    Avaliação:
    f(-0,030430)\approx-2,26698.
    Novo intervalo [-1,c_{2}] (pois f(c_{2})<0).
  • Iteração 3 (calcular c_{3}) com a=-1, b=c_{2}=-0,030430:
    c_{3}\approx\frac{-1\cdot(-2,26698)-(-0,030430)\cdot433}{-2,26698-433}\approx-0,035470.
    Avaliação:
    f(-0,035470)\approx-1,15022.
  • Resultado da falsa posição após 3 iterações no intervalo [-1,0]: c_{3}\approx-0,035470 com f(c_{3})\approx-1,15022.

Passo 6

Intervalo [-1,0] — método das secantes (três iterações, começando em x_{0}=-1, x_{1}=0).
  • Dados iniciais: x_{0}=-1, f(x_{0})=433; x_{1}=0, f(x_{1})=-9.
  • Iteração 1 (calcular x_{2}):
    x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})} =0-(-9)\frac{0-(-1)}{-9-433}=\frac{9}{-442}\approx-0,020361.
    (Idêntico ao primeiro ponto da falsa posição.)
    Avaliação: f(x_{2})\approx-4,49658.
  • Iteração 2 (calcular x_{3}) usando x_{1}=0 e x_{2}=-0,020361:
    x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})} \approx-0,020361-(-4,49658)\frac{-0,020361-0}{-4,49658-(-9)}\approx-0,040701.
    Avaliação: f(-0,040701)\approx0,005326 (já mudou de sinal).
  • Iteração 3 (calcular x_{4}) usando x_{2}=-0,020361 e x_{3}=-0,040701:
    x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})} \approx-0,040701-0,005326\frac{-0,040701-(-0,020361)}{0,005326-(-4,49658)} \approx-0,040677.
    Avaliação: f(-0,040677)\approx0,003927.
  • Resultado das secantes após 3 iterações no intervalo [-1,0]: x_{4}\approx-0,040677 com f(x_{4})\approx0,003927.
  • Observação comparativa para este intervalo: depois de 3 iterações a secante chegou a uma aproximação com \left|f\right|\approx0,0039 (bem pequena), enquanto a falsa posição, mesmo mantendo o bracket, tinha \left|f(c_{3})\right|\approx1,1502 (muito maior). Aqui as secantes foram mais rápidas.

Passo 7

Intervalo [0,1] — método da falsa posição (três iterações detalhadas).
  • Dados iniciais: a=0, b=1, f(a)=-9, f(b)=27.
  • Iteração 1 (calcular c_{1}):
    c_{1}=\frac{0\cdot27-1\cdot(-9)}{27-(-9)}=\frac{9}{36}=0,25.
    Avaliação:
    f(0,25)=230(0,25)^{4}+18(0,25)^{3}+9(0,25)^{2}-221(0,25)-9\approx-62,507813.
    Como f(0,25)<0 e f(1)>0, novo intervalo é [0,25,1].
  • Iteração 2 (calcular c_{2}) com a=0,25, b=1:
    c_{2}=\frac{0,25\cdot27-1\cdot(-62,507813)}{27-(-62,507813)} \approx\frac{6,75+62,507813}{89,507813}\approx0,773850.
    Avaliação:
    f(0,773850)\approx-83,8022.
    Novo intervalo [0,773850,1].
  • Iteração 3 (calcular c_{3}) com a=0,773850, b=1:
    c_{3}=\frac{0,773850\cdot27-1\cdot(-83,8022)}{27-(-83,8022)} \approx\frac{20,8940+83,8022}{110,8022}\approx0,944837.
    Avaliação:
    f(0,944837)\approx-11,4137.
  • Resultado da falsa posição após 3 iterações no intervalo [0,1]: c_{3}\approx0,944837 com f(c_{3})\approx-11,4137.

Passo 8

Intervalo [0,1] — método das secantes (três iterações, começando em x_{0}=0, x_{1}=1).
  • Dados iniciais: x_{0}=0, f(x_{0})=-9; x_{1}=1, f(x_{1})=27.
  • Iteração 1 (calcular x_{2}):
    x_{2}=1-27\frac{1-0}{27-(-9)}=1-\frac{27}{36}=0,25.
    Avaliação: f(0,25)\approx-62,507813 (mesmo que na falsa posição).
  • Iteração 2 (calcular x_{3}) usando x_{1}=1 e x_{2}=0,25:
    x_{3}=0,25-(-62,507813)\frac{0,25-1}{-62,507813-27}\approx0,773850.
    Avaliação: f(0,773850)\approx-83,8022 (idem à falsa posição no segundo passo).
  • Iteração 3 (calcular x_{4}) usando x_{2}=0,25 e x_{3}=0,773850:
    x_{4}=0,773850-(-83,8022)\frac{0,773850-0,25}{-83,8022-(-62,507813)}.
    • Calculando numericamente: 0,773850-0,25=0,523850 e -83,8022-(-62,507813)=-21,294387.
    • O numerador (-83,8022)\cdot0,523850\approx-43,898. Dividido por -21,294387 dá aproximadamente 2,0606. x_{4}\approx0,773850-2,0606\approx-1,286750.
    • Avaliação aproximada: f(-1,286750) seria um valor grande (não perto de zero). Portanto aqui a iteração 3 das secantes saiu do intervalo e produziu uma aproximação inútil para a raiz em [0,1].
  • Observação: neste intervalo as secantes tornaram-se instáveis (passaram para um x_{4} fora do intervalo e longe da raiz). A falsa posição manteve sempre o bracket e convergiu de forma estável (mesmo que lenta), enquanto a secante divergiu no terceiro passo.

Passo 9

Interpretação final e dicas práticas (resumindo desempenho e o que aprender para a prova).
  • Para o primeiro problema (equação transcendental), as secantes convergiram rapidamente: em 3 iterações (obtendo x_{4}) já atingimos \left|f\right|<10^{-2}.
  • Para o polinômio:
    • No intervalo [-1,0]: as secantes foram mais eficientes — em 3 iterações conseguiram uma aproximação com \left|f\right|\approx3,9\cdot10^{-3}, enquanto a falsa posição ainda tinha \left|f\right|\approx1{,}15.
    • No intervalo [0,1]: a falsa posição foi mais robusta (manteve bracket e produz resultados plausíveis: c_{3}\approx0,944837 com f\approx-11{,}41); já as secantes, após 3 iterações, saíram do intervalo e deram x_{4}\approx-1,286750 (muito longe da raiz), mostrando instabilidade nesse caso.
  • Regra prática para a prova:
    • Se tiver um intervalo com mudança de sinal e precisar de robustez (garantir que as aproximações fiquem no intervalo), use falsa posição.
    • Se tiver bom chute inicial e quiser rapidez, use secantes (ou Newton), lembrando do risco de sair do intervalo.

Resposta

Para \sqrt{x}-5e^{-x}=0 com secantes, usando x_{0}=1, x_{1}=2:
x_{0}=1, x_{1}=2,
x_{2}\approx1,532359,
x_{3}\approx1,405859,
x_{4}\approx1,431271 (aqui |f(x_{4})|\approx0,001863<10^{-2}).
Para f(x)=230x^{4}+18x^{3}+9x^{2}-221x-9:
Intervalo [-1,0]:
  • Falsa posição (3 iterações): c_{3}\approx-0,035470, f(c_{3})\approx-1,15022.
  • Secantes (3 iterações, começando em -1,0): x_{4}\approx-0,040677, f(x_{4})\approx0,003927.
Intervalo [0,1]:
  • Falsa posição (3 iterações): c_{3}\approx0,944837, f(c_{3})\approx-11,4137.
  • Secantes (3 iterações, começando em 0,1): x_{4}\approx-1,286750 (teve saída do intervalo; método instável neste caso).

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