1. Considere p(x)=a x+b e calcule \int_{0}^{t} p, onde t é um número qualquer.

Passo 1

O enunciado dá a função linear p definida por p(x)=a x+b e pede para calcular a integral definida de p no intervalo [0,t], isto é:
\int_{0}^{t} p(x)\,dx.
Informações relevantes:
  • a e b são constantes (coeficientes da função afim).
  • t é um número qualquer (o limite superior da integral); o limite inferior é 0.
  • A pergunta é: obter uma expressão fechada para \int_{0}^{t} p(x)\,dx.

Passo 2

Ideia do método que vamos usar (explicação didática do conceito que precisa saber).
A ferramenta principal é o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte, em palavras simples:
  • Se f é uma função contínua e F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x) para todo x), então
\int_{0}^{t} f(x)\,dx = F(t)-F(0).
Aqui:
  • f(x) é a função que estamos integrando (no nosso caso f(x)=p(x)).
  • F(x) é qualquer função cuja derivada seja f(x) (chamada de primitiva ou antiderivada).
    Portanto, para calcular \int_{0}^{t} p(x)\,dx basta achar uma primitiva F de p e avaliar F(t)-F(0).

Passo 3

Regra de integração que vamos usar (aprender a fórmula).
Uma regra básica é a regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui x é a variável de integração e n é um número fixo. No nosso caso, a parte a x tem n=1, porque x = x^{1}.

Passo 4

Calcular a primitiva de cada termo separadamente (passo a passo).
A função p(x) é a soma de dois termos: a x e b. A integral é linear, isto é,
\int (a x + b)\,dx = \int a x\,dx + \int b\,dx.
Explicando cada peça:
  • Para \int a x\,dx: como a é constante, pode sair da integral. Usando a regra da potência com n=1,
\int a x\,dx = a \int x\,dx = a\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{a x^{2}}{2}.
  • Para \int b\,dx: b é constante, então
\int b\,dx = b x.

Passo 5

Escrever a primitiva geral e comentar a constante de integração.
Somando os dois resultados, uma primitiva F(x) de p(x) é
F(x)=\frac{a x^{2}}{2} + b x + C,
onde C é a constante de integração. Para a integral definida de 0 até t a constante C cancela ao fazer F(t)-F(0), portanto não precisamos determinar C.

Passo 6

Avaliar a integral definida usando a primitiva.
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{t} p(x)\,dx = F(t)-F(0).
Calcule F(t) e F(0):
F(t)=\frac{a t^{2}}{2} + b t + C, \qquad F(0)=\frac{a\cdot 0^{2}}{2} + b\cdot 0 + C = C.
Subtraindo,
F(t)-F(0)=\left(\frac{a t^{2}}{2} + b t + C\right) - C = \frac{a t^{2}}{2} + b t.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, aplicação prática).
Escolhendo a=2, b=3 e t=1:
\int_{0}^{1} (2x+3)\,dx = \frac{2\cdot 1^{2}}{2} + 3\cdot 1 = 1 + 3 = 4.
Dá para checar geometricamente: área sob a reta 2x+3 de 0 a 1 resulta 4.

Resposta

\frac{a t^{2}}{2} + b t

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