- Considere
e calcule
, onde
é um número qualquer.
Passo 1
O enunciado dá a função linear
definida por
e pede para calcular a integral definida de
no intervalo
, isto é:
Informações relevantes:
-
e são constantes (coeficientes da função afim). -
é um número qualquer (o limite superior da integral); o limite inferior é . - A pergunta é: obter uma expressão fechada para
.
Passo 2
Ideia do método que vamos usar (explicação didática do conceito que precisa saber).
A ferramenta principal é o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte, em palavras simples:
A ferramenta principal é o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte, em palavras simples:
- Se
é uma função contínua e é uma primitiva de (ou seja, para todo ), então
Aqui:
-
é a função que estamos integrando (no nosso caso ). -
é qualquer função cuja derivada seja (chamada de primitiva ou antiderivada).
Portanto, para calcularbasta achar uma primitiva de e avaliar .
Passo 3
Regra de integração que vamos usar (aprender a fórmula).
Uma regra básica é a regra da potência: para ,
Uma regra básica é a regra da potência: para
onde
é a constante de integração. Aqui
é a variável de integração e
é um número fixo. No nosso caso, a parte
tem
, porque
.
Passo 4
Calcular a primitiva de cada termo separadamente (passo a passo).
A função é a soma de dois termos:
e
. A integral é linear, isto é,
A função
Explicando cada peça:
- Para
: como é constante, pode sair da integral. Usando a regra da potência com ,
- Para
: é constante, então
Passo 5
Escrever a primitiva geral e comentar a constante de integração.
Somando os dois resultados, uma primitiva de
é
Somando os dois resultados, uma primitiva
onde
é a constante de integração. Para a integral definida de
até
a constante
cancela ao fazer
, portanto não precisamos determinar
.
Passo 6
Avaliar a integral definida usando a primitiva.
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calcule
e
:
Subtraindo,
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, aplicação prática).
Escolhendo ,
e
:
Escolhendo
Dá para checar geometricamente: área sob a reta
de
a
resulta
.