Um polinômio de grau 2 tem o vértice no ponto (k, k) e o coeficiente do termo de maior grau é igual a 1. Qual deve ser o valor o menor valor inteiro positivo de k para que o polinômio possua raízes reais e iguais? Determine o polinômio.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • É um polinômio de grau 2 cujo coeficiente do termo de maior grau é 1.
  • O vértice do polinômio é o ponto (k,k).
    O que é pedido:
  • Encontrar o menor valor inteiro positivo de k tal que o polinômio tenha raízes reais e iguais.
  • Determinar o polinômio correspondente.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a forma geral do polinômio sabendo que o coeficiente quadrático é 1. Ou seja, podemos escrever
p(x)=x^{2}+bx+c,
onde b e c são números reais que ainda vamos determinar. Vou explicar duas fórmulas importantes sobre vértice e discriminante que vamos precisar.
Fórmula do vértice (explicada de forma simples):
  • Para uma parábola p(x)=ax^{2}+bx+c com a\neq0, a coordenada x do vértice é \displaystyle x_{v}=-\frac{b}{2a}.
    Aqui a=1, então \displaystyle x_{v}=-\frac{b}{2}.
  • A coordenada y do vértice é p(x_{v}). Substituindo x_{v}=-\frac{b}{2} na expressão de p, obtém-se
p\!\left(-\frac{b}{2}\right)=c-\frac{b^{2}}{4}.
(Um pequeno motivo: calcular p(-b/2) (-b/2)^{2}+b(-b/2)+c = b^{2}/4 - b^{2}/2 + c = c - b^{2}/4.)
Fórmula do discriminante (explicada):
  • Para a equação quadrática ax^{2}+bx+c=0 o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac.
  • Se \Delta>0 há duas raízes reais distintas; se \Delta=0 há raízes reais e iguais (raiz dupla); se \Delta<0 as raízes são complexas (não reais).

Passo 3

Agora aplicamos a condição do vértice (k,k).
Pela coordenada x do vértice temos
-\frac{b}{2}=k \quad\Rightarrow\quad b=-2k.
Pela coordenada y do vértice temos
p(k)=k.
Mas p(k)=k^{2}+bk+c. Substituindo b=-2k obtemos
k^{2}+(-2k)k+c = k \quad\Rightarrow\quad k^{2}-2k^{2}+c=k.
Simplificando,
-cancel: k^{2}-2k^{2} = -k^{2}\Rightarrow -k^{2}+c=k
ou seja
c = k^{2}+k.
Portanto, a condição "vértice em (k,k)" determina
b=-2k,\qquad c=k^{2}+k,
e o polinômio genérico com essas condições é
p(x)=x^{2}-2k x + (k^{2}+k).

Passo 4

Calculemos o discriminante desse polinômio para ver quando há raízes reais iguais.
Como a=1, b=-2k, c=k^{2}+k, temos
\Delta = b^{2}-4ac = (-2k)^{2} - 4\cdot 1\cdot (k^{2}+k).
Calcule passo a passo:
(-2k)^{2}=4k^{2},
4\cdot (k^{2}+k)=4k^{2}+4k,
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\Delta = 4k^{2} - (4k^{2}+4k) = -4k.

Passo 5

Agora interpretamos o resultado \Delta=-4k.
Para que haja raízes reais e iguais precisamos de \Delta=0. Portanto
-4k=0 \quad\Rightarrow\quad k=0.
Além disso, para que as raízes sejam reais (pelo menos reais, não necessariamente iguais) precisaríamos de \Delta\ge 0, ou seja -4k\ge0, o que implica k\le0. Isso mostra que para k>0 o discriminante é negativo e as raízes são complexas conjugadas (não reais). Em particular, não existe nenhum inteiro positivo k que torne \Delta=0.

Passo 6

Concluindo:
  • Não existe valor inteiro positivo de k que faça o polinômio ter raízes reais e iguais.
  • O único k que faz \Delta=0 é k=0 (que não é positivo). Para k=0 o polinômio é
p(x)=x^{2}-2\cdot 0\cdot x + (0^{2}+0)=x^{2},
que tem raiz dupla em x=0 e vértice em (0,0).

Resposta

Não existe valor inteiro positivo de k que torne as raízes reais e iguais.
Para k=0 (único valor que dá raízes reais e iguais) o polinômio é x^{2}.

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