Um polinômio de grau 2 tem o vértice no ponto
e o coeficiente do termo de maior grau é igual a 1. Qual deve ser o valor o menor valor inteiro positivo de
para que o polinômio possua raízes reais e iguais? Determine o polinômio.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- É um polinômio de grau 2 cujo coeficiente do termo de maior grau é
. - O vértice do polinômio é o ponto
.
O que é pedido: - Encontrar o menor valor inteiro positivo de
tal que o polinômio tenha raízes reais e iguais. - Determinar o polinômio correspondente.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a forma geral do polinômio sabendo que o coeficiente quadrático é
. Ou seja, podemos escrever
onde
e
são números reais que ainda vamos determinar. Vou explicar duas fórmulas importantes sobre vértice e discriminante que vamos precisar.
Fórmula do vértice (explicada de forma simples):
- Para uma parábola
com , a coordenada do vértice é .
Aqui, então . - A coordenada
do vértice é . Substituindo na expressão de , obtém-se
(Um pequeno motivo: calcular
dá
.)
Fórmula do discriminante (explicada):
- Para a equação quadrática
o discriminante é . - Se
há duas raízes reais distintas; se há raízes reais e iguais (raiz dupla); se as raízes são complexas (não reais).
Passo 3
Agora aplicamos a condição do vértice
.
Pela coordenada
do vértice temos
Pela coordenada
do vértice temos
Mas
. Substituindo
obtemos
Simplificando,
ou seja
Portanto, a condição "vértice em
" determina
e o polinômio genérico com essas condições é
Passo 4
Calculemos o discriminante desse polinômio para ver quando há raízes reais iguais.
Como
,
,
, temos
Calcule passo a passo:
logo
Passo 5
Agora interpretamos o resultado
.
Para que haja raízes reais e iguais precisamos de
. Portanto
Além disso, para que as raízes sejam reais (pelo menos reais, não necessariamente iguais) precisaríamos de
, ou seja
, o que implica
. Isso mostra que para
o discriminante é negativo e as raízes são complexas conjugadas (não reais). Em particular, não existe nenhum inteiro positivo
que torne
.
Passo 6
Concluindo:
- Não existe valor inteiro positivo de
que faça o polinômio ter raízes reais e iguais. - O único
que faz é (que não é positivo). Para o polinômio é
que tem raiz dupla em
e vértice em
.
Resposta
Não existe valor inteiro positivo de
que torne as raízes reais e iguais.
Para (único valor que dá raízes reais e iguais) o polinômio é
.
Para