Um polinômio de grau 2 tem o vértice no ponto (0,0). O que podemos afirmar sobre as raízes deste polinômio?

Passo 1

O enunciado dá um polinômio de grau 2 cujo vértice é o ponto (0,0).
O que nos pediram: identificar o que podemos afirmar sobre as raízes desse polinômio (quantas são, quais valores e se são distintas ou repetidas).
Informações fornecidas explicitamente:
  • O polinômio tem grau 2 (ou seja, é uma quadrática).
  • O vértice da parábola associada está em (0,0).

Passo 2

Escrevemos a forma geral de um polinômio de grau 2 e explicamos o que cada coeficiente significa:
p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde \,a\neq 0\, (se \,a=0\, deixaria de ser grau 2), b é o coeficiente do termo linear e c é o termo constante (valor de p(0)).
Interpretação geométrica rápida: o gráfico de p é uma parábola; o vértice tem coordenadas (h,k) que dependem de a,b,c.

Passo 3

Vamos obter a fórmula do vértice explicando passo a passo (isso também serve como técnica para “ver” a posição do vértice): completar o quadrado na expressão de p(x).
Começamos por fatorar a nos termos quadrático e linear:
p(x)=a\!\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c.
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese: adicionamos e subtraímos \left(\dfrac{b}{2a}\right)^{2}:
p(x)=a\!\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\right]+c.
Distribuindo a obtemos a forma canônica (forma vértice):
p(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c.
Dessa forma se lê direto: o vértice (h,k) é dado por
h=-\frac{b}{2a},\qquad k=c-\frac{b^{2}}{4a},
onde h é a abscissa do vértice e k é a ordenada do vértice (o valor de p em x=h).

Passo 4

Aplicamos as condições do enunciado: o vértice é (0,0), logo h=0 e k=0. Usando as fórmulas do passo anterior:
h=-\frac{b}{2a}=0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
Além disso
k=c-\frac{b^{2}}{4a}=0.
Como b=0, essa segunda condição vira
c-0=0 \quad\Rightarrow\quad c=0.

Passo 5

Com b=0 e c=0 o polinômio fica muito simples:
p(x)=ax^{2},
com a\neq 0. Isso é uma forma fatorada imediata:
p(x)=a\,(x-0)^{2}.
Então a equação p(x)=0 é
a x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.

Passo 6

Conclusões sobre as raízes (explicando termos):
  • Há apenas uma raiz real distinta: x=0.
  • Essa raiz tem multiplicidade 2 (ou seja, é uma raiz dupla), porque o polinômio pode ser escrito como a(x-0)^{2}.
  • Em termos do discriminante \Delta da quadrática, como b=0 e c=0,
\Delta=b^{2}-4ac=0^{2}-4a\cdot 0=0,
o que confirma que há uma única raiz real dupla.

Passo 7

Interpretação geométrica rápida e exemplos (para fixar):
  • A parábola é simétrica em relação ao eixo y (eixo vertical x=0) e tem seu mínimo em (0,0) se a>0, ou seu máximo em (0,0) se a<0.
  • Exemplos concretos:
    • p(x)=x^{2} tem vértice em (0,0) e raiz dupla x=0.
    • p(x)=-2x^{2} também tem vértice em (0,0) e raiz dupla x=0.

Resposta

x=0 (raiz real dupla, multiplicidade 2).

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