Um polinômio de grau 2 tem o vértice no ponto
. O que podemos afirmar sobre as raízes deste polinômio?
Passo 1
O enunciado dá um polinômio de grau 2 cujo vértice é o ponto
.
O que nos pediram: identificar o que podemos afirmar sobre as raízes desse polinômio (quantas são, quais valores e se são distintas ou repetidas).
Informações fornecidas explicitamente:
O que nos pediram: identificar o que podemos afirmar sobre as raízes desse polinômio (quantas são, quais valores e se são distintas ou repetidas).
Informações fornecidas explicitamente:
- O polinômio tem grau 2 (ou seja, é uma quadrática).
- O vértice da parábola associada está em
.
Passo 2
Escrevemos a forma geral de um polinômio de grau 2 e explicamos o que cada coeficiente significa:
onde
(se
deixaria de ser grau 2),
é o coeficiente do termo linear e
é o termo constante (valor de
).
Interpretação geométrica rápida: o gráfico de é uma parábola; o vértice tem coordenadas
que dependem de
.
Interpretação geométrica rápida: o gráfico de
Passo 3
Vamos obter a fórmula do vértice explicando passo a passo (isso também serve como técnica para “ver” a posição do vértice): completar o quadrado na expressão de
.
Começamos por fatorar nos termos quadrático e linear:
Começamos por fatorar
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese: adicionamos e subtraímos
:
Distribuindo
obtemos a forma canônica (forma vértice):
Dessa forma se lê direto: o vértice
é dado por
onde
é a abscissa do vértice e
é a ordenada do vértice (o valor de
em
).
Passo 4
Aplicamos as condições do enunciado: o vértice é
, logo
e
. Usando as fórmulas do passo anterior:
Além disso
Como
, essa segunda condição vira
Passo 5
Com
e
o polinômio fica muito simples:
com
. Isso é uma forma fatorada imediata:
Então a equação
é
Passo 6
Conclusões sobre as raízes (explicando termos):
- Há apenas uma raiz real distinta:
. - Essa raiz tem multiplicidade 2 (ou seja, é uma raiz dupla), porque o polinômio pode ser escrito como
. - Em termos do discriminante
da quadrática, como e ,
o que confirma que há uma única raiz real dupla.
Passo 7
Interpretação geométrica rápida e exemplos (para fixar):
- A parábola é simétrica em relação ao eixo
(eixo vertical ) e tem seu mínimo em se , ou seu máximo em se . - Exemplos concretos:
-
tem vértice em e raiz dupla . -
também tem vértice em e raiz dupla .
-