1. Se f(x)=x^{n}, n \in \mathbb{N}, então a função derivada de f, calculada pelo limite do Quociente de Newton abaixo, é igual a:
\begin{aligned} \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x} & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^{n}+n x^{n-1} \Delta x+\binom{n}{2} x^{n-2} \Delta x^{2}+\ldots+\Delta x^{n}-x^{n}}{\Delta x} \\\ & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(n x^{n-1}+\binom{n}{2} x^{n-2} \Delta x+O\left(\Delta x^{2}\right)\right)=n x^{n-1} \end{aligned}
onde O\left(\Delta x^{2}\right) é uma expressão contendo termos com potências de \Delta x maiores ou iguais a 2 . Note que quando \Delta x \rightarrow 0, todos os termos contendo \Delta x também vão pra 0 .
Exemplo: Se p(x)=x^{5} então a sua função derivada é p^{\prime}(x)=5 x^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{n} com n\in\mathbb{N} e pede para calcular a função derivada de f usando o limite do quociente de Newton:
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável independente é x.
  • O incremento é \Delta x (que vai para 0 no limite).
  • A expressão já sugere usar a expansão do binómio para (x+\Delta x)^{n}.
    O objetivo final é obter uma expressão para f'(x) em termos de x e n.

Passo 2

Lembrando a definição que vamos aplicar: a derivada de f em x é o limite do quociente incremental,
f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.
Aqui f(x)=x^{n}, então precisamos avaliar exatamente
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}.
Explicar a ideia: se conseguirmos escrever o numerador como uma soma onde todos os termos, exceto um, contêm pelo menos um fator \Delta x, ao dividir por \Delta x só um termo permanecerá sem \Delta x; os outros vão para 0 quando \Delta x\to 0.

Passo 3

Usar a fórmula do binómio de Newton para expandir (x+\Delta x)^{n}. A fórmula geral é:
(x+\Delta x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}(\Delta x)^{k},
onde \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial. Em particular,
(x+\Delta x)^{n}=x^{n}+n x^{n-1}\Delta x+\binom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots+(\Delta x)^{n}.
Aqui vale observar que \binom{n}{0}=1 e \binom{n}{1}=n.

Passo 4

Substituir a expansão no quociente e simplificar cancelando x^{n}:
\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x} =\frac{\bigl(x^{n}+n x^{n-1}\Delta x+\binom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots+(\Delta x)^{n}\bigr)-x^{n}}{\Delta x}.
Cancelando x^{n} no numerador e dividindo todos os termos por \Delta x obtemos
\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x} = n x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}\Delta x+\binom{n}{3}x^{n-3}(\Delta x)^{2}+\cdots+(\Delta x)^{\,n-1}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando \Delta x\to 0. Observações importantes e por que funcionam:
  • Cada termo após o primeiro contém um fator \Delta x elevado a pelo menos 1. Por exemplo, \binom{n}{2}x^{n-2}\Delta x tem um \Delta x e (\Delta x)^{\,n-1} tem potência \ge 1.
  • Quando \Delta x\to 0, qualquer termo que seja uma constante multiplicada por \Delta x (ou por (\Delta x)^{2}, etc.) tende a 0.
  • Portanto, todos os termos após n x^{n-1} tendem a 0.
    Formalizando com notação de resto: escrevemos
\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}=n x^{n-1}+O\bigl((\Delta x)\bigr),
onde O\bigl((\Delta x)\bigr) representa termos que são C\Delta x ou menores em ordem, logo vão para 0 quando \Delta x\to 0.

Passo 6

Concluir o limite:
f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\biggl(n x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}\Delta x+\cdots\biggr)=n x^{n-1}.
Explicação em palavras: o termo dominante que não contém \Delta x é n x^{n-1}; todos os outros têm fator \Delta x e desaparecem no limite.

Passo 7

Exemplos concretos pequenos (para treinar e fixar):
  • Para n=1: f(x)=x. Cálculo direto: \displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)-x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}1=1. A regra dá 1\cdot x^{0}=1.
  • Para n=2: f(x)=x^{2}. Expandindo (x+\Delta x)^{2}=x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}. Divide por \Delta x e toma limite: f'(x)=2x.
  • Para n=5 (exemplo do enunciado): (x+\Delta x)^{5}=x^{5}+5x^{4}\Delta x+10x^{3}(\Delta x)^{2}+\cdots+(\Delta x)^{5}. Dividindo por \Delta x e fazendo \Delta x\to 0 fica f'(x)=5x^{4}.

Passo 8

Dicas para a prova (como aplicar rápido):
  • Use sempre a expansão do binómio ou memorize a regra: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Para um polinômio p(x)=\sum a_{k}x^{k}, aplique linearidade: p'(x)=\sum a_{k} k x^{k-1}.
  • Se houver um coeficiente constante a, então (a x^{n})'=a\cdot n x^{n-1}.
  • Pratique para pequenos n para ganhar confiança; a demonstração via limite é sempre baseada nos mesmos passos vistos acima.

Resposta

n x^{n-1}

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