- Se
, então a função derivada de
, calculada pelo limite do Quociente de Newton abaixo, é igual a:
onde
é uma expressão contendo termos com potências de
maiores ou iguais a 2 . Note que quando
, todos os termos contendo
também vão pra 0 .
Exemplo: Se
então a sua função derivada é
Exemplo: Se
Passo 1
O enunciado dá a função
com
e pede para calcular a função derivada de
usando o limite do quociente de Newton:
Informações relevantes fornecidas:
- A variável independente é
. - O incremento é
(que vai para no limite). - A expressão já sugere usar a expansão do binómio para
.
O objetivo final é obter uma expressão paraem termos de e .
Passo 2
Lembrando a definição que vamos aplicar: a derivada de
em
é o limite do quociente incremental,
Aqui
, então precisamos avaliar exatamente
Explicar a ideia: se conseguirmos escrever o numerador como uma soma onde todos os termos, exceto um, contêm pelo menos um fator
, ao dividir por
só um termo permanecerá sem
; os outros vão para
quando
.
Passo 3
Usar a fórmula do binómio de Newton para expandir
. A fórmula geral é:
onde
é o coeficiente binomial. Em particular,
Aqui vale observar que
e
.
Passo 4
Substituir a expansão no quociente e simplificar cancelando
:
Cancelando
no numerador e dividindo todos os termos por
obtemos
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Observações importantes e por que funcionam:
- Cada termo após o primeiro contém um fator
elevado a pelo menos . Por exemplo, tem um e tem potência . - Quando
, qualquer termo que seja uma constante multiplicada por (ou por , etc.) tende a . - Portanto, todos os termos após
tendem a .
Formalizando com notação de resto: escrevemos
onde
representa termos que são
ou menores em ordem, logo vão para
quando
.
Passo 6
Concluir o limite:
Explicação em palavras: o termo dominante que não contém
é
; todos os outros têm fator
e desaparecem no limite.
Passo 7
Exemplos concretos pequenos (para treinar e fixar):
- Para
: . Cálculo direto: . A regra dá . - Para
: . Expandindo . Divide por e toma limite: . - Para
(exemplo do enunciado): . Dividindo por e fazendo fica .
Passo 8
Dicas para a prova (como aplicar rápido):
- Use sempre a expansão do binómio ou memorize a regra: a derivada de
é . - Para um polinômio
, aplique linearidade: . - Se houver um coeficiente constante
, então . - Pratique para pequenos
para ganhar confiança; a demonstração via limite é sempre baseada nos mesmos passos vistos acima.