- Calcule uma aproximação para
utilizando a taxa de variação instantânea de
em
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação para
usando a taxa de variação instantânea de
em
.
Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
- A função considerada é
- Deve-se usar a taxa de variação instantânea (ou derivada) de
no ponto para aproximar .
Passo 2
O que é a taxa de variação instantânea e por que ela ajuda na aproximação?
- A taxa de variação instantânea de
em é a derivada , que representa a inclinação da reta tangente a naquele ponto. Em fórmulas:
- Para polinômios existe a regra de potência: a derivada de
é . Aplicando ao caso :
Isso significa que, perto de um ponto
, a função se comporta quase como a reta tangente de inclinação
.
Passo 3
Fórmula da aproximação linear (linearização) — a ferramenta prática:
Se e
é pequeno, então
Se
Aqui
é a variação em
e a reta do lado direito é a reta tangente em
. Essa é exatamente a aproximação usando a taxa de variação instantânea.
Passo 4
Aplicando à nossa situação: escolher
e
, então
Calculemos os termos necessários passo a passo:
-
. Em conta:
-
. Em conta:
Agora use a aproximação linear:
Passo 5
Faça a subtração passo a passo:
Portanto a aproximação obtida pela taxa de variação instantânea em
é
.
Passo 6
Comentário didático sobre o erro (para entender a qualidade da aproximação):
- É útil ver por que há um pequeno erro: a expansão de Taylor até a segunda ordem dá
- Aqui
, então . Com o termo quadrático é . O termo cúbico e superiores produzem o ajuste final de , resultando no erro total de . Isso explica por que a aproximação linear deu enquanto o valor exato é (a aproximação erra por ). Em provas, normalmente a aproximação linear é suficiente quando é pequeno.