1. Calcule uma aproximação para 99^{3} utilizando a taxa de variação instantânea de x^{3} em x=100

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação para \;99^{3}\; usando a taxa de variação instantânea de \;x^{3}\; em \;x=100.
Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
  • A função considerada é \;f(x)=x^{3}\;.
  • Deve-se usar a taxa de variação instantânea (ou derivada) de f no ponto \;x=100\; para aproximar f(99).

Passo 2

O que é a taxa de variação instantânea e por que ela ajuda na aproximação?
  • A taxa de variação instantânea de f em x é a derivada f'(x), que representa a inclinação da reta tangente a f naquele ponto. Em fórmulas:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • Para polinômios existe a regra de potência: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando ao caso \;f(x)=x^{3}\;:
f'(x)=3x^{2}.
Isso significa que, perto de um ponto x_{0}, a função se comporta quase como a reta tangente de inclinação f'(x_{0}).

Passo 3

Fórmula da aproximação linear (linearização) — a ferramenta prática:
Se \;x=x_{0}+\Delta x\; e \Delta x é pequeno, então
f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\,\Delta x.
Aqui \Delta x é a variação em x e a reta do lado direito é a reta tangente em x_{0}. Essa é exatamente a aproximação usando a taxa de variação instantânea.

Passo 4

Aplicando à nossa situação: escolher \;x_{0}=100\; e \;x=99\;, então
\Delta x = 99-100 = -1.
Calculemos os termos necessários passo a passo:
  • \;f(100)=100^{3}. Em conta:
100^{3}=100\cdot100\cdot100=1\,000\,000.
  • \;f'(100)=3\cdot100^{2}. Em conta:
100^{2}=10\,000,\qquad f'(100)=3\cdot10\,000=30\,000.
Agora use a aproximação linear:
f(99)\approx f(100)+f'(100)\,\Delta x = 1\,000\,000 + 30\,000\cdot(-1).

Passo 5

Faça a subtração passo a passo:
1\,000\,000 - 30\,000 = 970\,000.
Portanto a aproximação obtida pela taxa de variação instantânea em x=100 é \;970\,000\;.

Passo 6

Comentário didático sobre o erro (para entender a qualidade da aproximação):
  • É útil ver por que há um pequeno erro: a expansão de Taylor até a segunda ordem dá
f(100+\Delta x)=f(100)+f'(100)\Delta x+\tfrac{1}{2}f''(100)\Delta x^{2}+\cdots.
  • Aqui f''(x)=6x, então f''(100)=600. Com \Delta x=-1 o termo quadrático é \tfrac{1}{2}\cdot600\cdot1=300. O termo cúbico e superiores produzem o ajuste final de -1, resultando no erro total de 299. Isso explica por que a aproximação linear deu 970\,000 enquanto o valor exato é 970\,299 (a aproximação erra por 299). Em provas, normalmente a aproximação linear é suficiente quando |\Delta x| é pequeno.

Resposta

970000

Exercícios relacionados