1. O polinômio R(x)=x^{3}-2 x-5 possui uma raiz real próxima de x=2. Use o Algoritmo de Briot-Ruffini para calcular R(2) e R^{\prime}(2). Em seguida, execute uma iteração do método de Newton-Raphson para refinar essa raiz, usando x_{0}=2.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
R(x)=x^3-2x-5
e pede: 1) usar o Algoritmo de Briot–Ruffini para avaliar R(2); 2) calcular R'(2); 3) fazer uma iteração do método de Newton–Raphson a partir de x_0=2. Para isso precisamos conhecer a ideia de divisão sintética (Briot–Ruffini), a derivada de um polinômio e a fórmula de Newton–Raphson.

Passo 2

Aplicando Briot–Ruffini para x_0=2 nos coeficientes de R(x), que são 1,0,-2,-5:
\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 0 & -2 & -5 \\\ & & 2 & 4 & 4 \\\ \hline & 1 & 2 & 2 & -1 \end{array}
O último valor -1 é o resto da divisão, logo
R(2)=-1.

Passo 3

A derivada de R é
R'(x)=3x^2-2.
Substituindo x=2 vem
R'(2)=3\cdot2^2-2=12-2=10.

Passo 4

No método de Newton–Raphson a fórmula da iteração é
x_{1}=x_{0}-\frac{R(x_{0})}{R'(x_{0})}.
Logo, com x_{0}=2, R(2)=-1 e R'(2)=10, temos
x_{1}=2-\frac{-1}{10}=2+0,1=2,1.

Resposta

R(2)=-1
R'(2)=10
x_{1}=2,1

Exercícios relacionados