O polinômio de Taylor de grau 2 da função f(x, y)=x^2+e^y no ponto (0,0) é:
Escolha uma opção:
Q(x, y)=1+x y+x^2
Q(x, y)=0
Q(x, y)=1+y+x^2+12 y^2
Q(x, y)=x+y+x y

Passo 1

O exercício pede o polinômio de Taylor de grau 2 de f(x,y)=x2+ey em torno de (0,0). Vamos usar a definição de Taylor para funções de duas variáveis até ordem 2, que exige f(0,0), as derivadas parciais de 1º e 2º ordem avaliadas em (0,0).

Passo 2

Calculamos o valor da função no ponto base: f(0,0)=02+e0=1.

Passo 3

Derivadas de primeira ordem: f_x=2x e f_y=e^y. Avaliando em (0,0) temos f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=1. Logo, o termo linear é y.

Passo 4

Derivadas de segunda ordem: f_{xx}=2, f_{xy}=0 e f_{yy}=e^y. Em (0,0) isso vale 2, 0 e 1, respectivamente. O termo de ordem 2 fica:
12l(fxx(0,0)x^2+2fxy(0,0)xy+fyy(0,0)y^2r)=12(2x^2+0+ y^2)=x^2+12y^2
Somando os termos de ordem 0, 1 e 2, obtemos o polinômio de Taylor de grau 2.

Resposta

Q(x,y)=1+y+x^2+tfrac12y^2

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